Gleichungssystem mit 3 Variablen lösen

Erste Frage Aufrufe: 214     Aktiv: 18.04.2024 um 01:26

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Hallo,

ich habe folgendes Gleichungssystem, welches ich nicht gelöst bekomme. Es sind die partiellen Ableitungen einer Funktion mit 3 Variablen.Ich möchte letzendlich die Hochpunkte herausfinden. Kann mir jemand helfen es zu lösen? Danke schonmal im vorraus!

Gleichungssystem:

(-0.2x + 2) * (sin(10z + pi/2 -10) +0.2z) = 0
(-0.02y + 0.02) * (sin(10z + pi/2 -10) +0.2z) = 0
((-0.1(x-10)^2+1)+(-0.01(y-1)^2+1)) * (10cos(10z + pi/2 -10) + 0.2) = 0
gefragt

Punkte: 10

 

Die Hochpunkte wovon? Bitte vollständige Info, d.h. Aufgabenstellung im Original (Foto hochladen, oben "Frage bearbeiten).   ─   mikn 12.04.2024 um 14:45
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1 Antwort
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Ich deute hier nur den Lösungsweg an.

Wenn die erste Gl. gelten soll, muss mind. eine der beiden Gleichungen gelten:
\(-0.2x+2=0\)                                  (1)
\(\sin(10 z +\pi/2 - 10) +0.2\, z = 0\)   (2)

Fall 1: (2) gilt nicht.
Dann muss (1) gelten.
Aus der zweiten Gleichung kann man analog folgern, dass y=1.
Dann ist aber der erste Faktor auf der linken Seite der dritten Gleichung gleich 2, also nicht 0.
Also muss der zweite Faktor auf der linken Seite der dritten Gleichung gleich 0 sein:
\(10 \cos(10z + \pi/2 -10) + 0.2 = 0\)     (3)
Diese Gleichung ist für unendlich viele z gültig.

Bei Fragen bitte nochmal melden.

Fall 2: (2) gilt.
(2) gilt für endlich z (eine Computerzeichnung zeigt, dass es 31 Lösungen gibt), die man leider numerisch berechnen muss.
Man kann zeigen, dass für keine dieser z der zweite Faktor auf der linken Seite der dritten Gleichung gleich 0 ist
(hier benutzt man das Gesetz \(\cos^2 \phi +\sin^2 \phi=1\), um zu zeigen, dass \(1=z^2/25+1/2500\). Diese Gl. hat nur zwei Lsg., für die der 2. Faktor der linken Seite der 3. Aufgabengleichung nicht 0 ist).

Also muss der erste Faktor auf der linken Seite der dritten Gleichung gleich 0 sein:
\(-0.1\,(x-10)^2+1)+(-0.01\,(y-1)^2+1) = 0\).
Lösungen: \(x\in[10-\sqrt{20}, 10+\sqrt{20}]\),    \(y = 1\pm\sqrt{200-10(x-10)^2}\).
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Dankeschön für deine Antwort!

Die Ausgangsgleichung ist übrigens:
f(x, y, z) = ((-0.1(x-10)^2+1)+(-0.01(y-1)^2+1)) * (sin(10z + pi/2 -10) +0.2z)

Ich weiß, dass 0 < x < 100; 0 < y < 100; 0.0 < z < 2.0.

x = integer
y = integer
z = float

Ich habe einen Algorithmus geschrieben der diese Funktion optimieren soll. Da kriege ich folgende Optima (Hochpunkte) mit Parametern innerhalb des oben genannten Wertebereiches raus: [2, 63, 76, 89, 102, 554, 668, 781, 895]. Mit der Rechnung will ich eigentlich nur prüfen, ob der Algorithmus korrekt ist.

Lösung für z in der Gleichung 10cos(10z + pi/2 -10) + 0.2 = 0 ist laut Wolfram Alpha z = 1.00200013+πn/5; 1.31215913+πn/5 und n kann ein beliebiger Integer sein. Da 0.0 < Z < 2.0, kann ich in beide der Lösungen jeweils nur drei integer einsetzen (-1, 0, 1), für die das gilt und komme auf 6 Punkte [P1(10, 1, 1.0020013), P2(10, 1, 1.630318661),...P6()]. Wenn man die in meine Ausgangsgleichung einsetzt, kommen werte zwischen 0.7 und 2.7 raus. Die würde ich ich jetzt zu der 2 einordnen, die mein Algorithmus findet. (Ich konzentriere mich nur auf das f(x,y,z) und nicht auf die konkreten Parameter x, y, z, die zu dem Wert führen).

Bei dem 2. Fall komme ich leider nicht weiter. Wenn man dann y berechnen möchte, hat man dann doch negative Werte aus denen man nicht die Wurzel ziehen kann. Oder übersehe ich da etwas?
  ─   user041e32 15.04.2024 um 12:17

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Wenn x und y ganzzahlig sind, dann sieht die Rechnung anders aus. Dann kann man nämlich nicht nach x und y ableiten.
Außerdem muss man dann bei z eine Betrachtung an den Grenzen z=0 und z=2 durchführen.

Der Term \(-0.1(x-10)^2+1\) wird für x=10 maximal und für x=99 minimal.
Der Term \(-0.01(y-1)^2+1)\) wird für y=1 maximal und für y=99 minimal.
Der Term \(h(z)=\sin(10z + \pi/2 -10) +0.2z\) kann für folgende Punkte Extremstellen sein:
- z=0
- z=2
- alle \(z\in(0,2)\), für die \(h'(z)=0\) ist.
Diese endlich vielen z muss man durchprobieren, um die Extremstellen zu finden.

Dann sind Kandidaten für die Extremstellen alle (x,y,z) mit den o.g. x,y und alle Extremstellen z von h. Diese endlich vielen Kandidaten (es sind m.E. 8)
man durchprobieren, um die Extremstellen zu finden.

  ─   m.simon.539 16.04.2024 um 01:00

Was wäre denn ein Beispiel für eine Extremstelle? Ich verstehe leider nicht genau was du meinst. Warum kann der Term h(z)=sin(10z+π/2−10)+0.2z nur für z=0 und z=2 Extremstelle sein? Ein Beispiel mit kurzer Erklärung wäre hilfreich. Danke!   ─   user041e32 17.04.2024 um 10:24

Ich habe nicht gesagt, dass die Funktion h nur in 0 oder 2 eine Extremstelle haben kann.

Eine Extremstelle ist entweder ein Minimum oder ein Maximum.

Funktionen, die auf einem abgeschlossenen Intervall haben, können Extremstellen auch an den Rändern haben.
Beispiel ist die Funktion \(f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R},\;f(x)=x\).
Die Ableitung ist nirgens 0, aber bei 0 hat die Funktion ein Minimum, und bei 1 ein Maximum.

Wenn die Funktion plottet, sieht man allerdings: Weder bei z=0 noch bei z=2 hat die Funktion ein Minimum oder Maximum.
Die Funktion hat ein Mimimum nahe 0.2 und ein Maximum nahe 1.8.

  ─   m.simon.539 18.04.2024 um 01:26

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