Binomialkoeffizient

Aufrufe: 518     Aktiv: 14.04.2021 um 11:58
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Soweit bin ich gekommen. Ich weiß nicht, ob die Umformung von [(n+1) über k] zu (n über k) + (n über k-1) richtig ist, es war nur eine Vermutung. Ich hab auf Krampf die Induktionsvoraussetzung angewendet, aber wie ihr seht, ist noch ein großer Rest übrig. Am Ende muss 1/n+2 herauskommen, aber ich weiß nicht, wie der vorletzte Bruch aussieht, sonst könnte ich mich vielleicht vom Ergebnis "zurückarbeiten". 
Kann mir jemand einen Tipp geben bzw. sagen, ob ich einen Fehler gemacht habe?
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Student, Punkte: 260

 
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1 Antwort
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Die Aufteilung des BK auf zwei BKs kann man machen, aber nur für \(k\ge 1\). Da müsste man also die Summe vorher entsprechend aufteilen. Und in der letzten Zeile ist die zweite Summe falsch abgeschrieben.
Wie man da nun weiterkommt, weiß ich gerade auch nicht, aber es gibt einen Beweis ohne Induktion.
Anleitung dazu: Vorweg, wir wissen \(\sum\limits_{i=0}^l (-1)^i\binom{l}i =0\) für \(l\ge 1\), war vermutlich schon als Ü-Aufgabe.
Also: \(\frac1{k+1}\binom{n}k=\frac1{n+1}\binom{n+1}{k+1}\), damit die Summe umschreiben, Indexverschiebung (um obiges ("vorweg...") anzubringen). Dann recht schnell fertig.
Probier mal.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

 
Gut zu wissen, dass es auch ohne vollst. Induktion geht. Der Tipp mit dem Umschreiben hilft mir leider nicht weiter, ich komme auch so nicht weiter. So sieht es aus, aber ich weiß, dass das völlig falsch ist. https://ibb.co/3rFCV3Y   ─   akimboslice 13.04.2021 um 16:09
Ich hänge total und komme nicht weiter.   ─   akimboslice 13.04.2021 um 16:35
Welchen Hinweis meinst du genau und was hast du umgeschrieben? Mir zeigt es Änderungen leider nicht an.   ─   akimboslice 13.04.2021 um 18:15
Ich sage ja, ich komme nicht weiter. Ich weiß nicht, was dieses Gerate soll. Offensichtlich bin ich niemand, der einfach nur die Lösung haben will, sonst hätte ich nicht 5 Blockblätter vollgeschrieben. Das ändert nichts daran, dass ich nicht weiter komme, auch mit dem Hinweis nicht, bei dem mich i und l statt k und l verwirren und ich nicht weiß, was ich mit dem (k+1) im Nenner machen soll. Der fehlt im Hinweis, aber steht in der Aufgabe. Ich weiß also nicht, wie ich das da "rauskriege", um den Hinweis anwenden zu können.   ─   akimboslice 13.04.2021 um 18:27
Da gibt es in der letzten Zeile kein k+1 im Nenner, weil das bei dir in deinem allerersten Beitrag in der drittletzten Zeile so steht und von da hab ich's ja. Außerdem versteh ich nicht, wie man von dem Hinweis (ab "vorweg") auf die drittletzte Zeile kommt.   ─   akimboslice 13.04.2021 um 18:34
Soweit bin ich jetzt: https://ibb.co/D94jr7v
Wenn ich einen Indexshift mache, ändert sich ja nur das k+1 unten im Bin.koeffizienten. Es muss eine Möglichkeit geben, den Bruch 1/( n+1) vorzuziehen und den Rest dann mit oben besprochener Umformung auf 0 zu bringen.   ─   akimboslice 13.04.2021 um 18:51
Okay, dann machen wir es so. Jetzt hab ich es "Zeichen für Zeichen" abgeschrieben. https://ibb.co/wpTRghB
Jetzt weiß ich nicht, wie ich auf (l über i) statt auf (n über k) komme und was ich mit dem (-1)^k machen soll.   ─   akimboslice 14.04.2021 um 08:38

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.