Basiswechselmatrix

Aufrufe: 641     Aktiv: 07.11.2021 um 18:44
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Wie kann ich die Basis ub einem Polynomraum wechseln wenn die Basis mit parametern dargestellt wird? 
also z. B 

 B = (x^3, x^2 , x, 1) und C = (a3x^3 +  a2x^2 + a1x + a0, b3x^3+b2x^2 + b1x + b0,c3x^3+ c2x^2 + c1x + c0)

ich möchte von B nach C wechseln. Ich habe verscuht die Basisvektoren von B als linearkombination von C darzustellen. Dies ging aber nicht, da ich die Parameter ja nicht explizit kenne.
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Die Basiswechselmatrix ist dann abhängig von den Parametern, versuch das einfach wie normal zu rechnen und behandle jeden Parameter wie eine Zahl.
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Student, Punkte: 10.87K

 
also den Basis vektor von pol3(R) (1,0,0,0) als linear Kombination darstellen?   ─   sebii2 07.11.2021 um 09:26
Man braucht doch 3 Basisvektoren, und die haben alle die Dimension 3. @sebii2 Tippfehler?   ─   lernspass 07.11.2021 um 11:46
@lernspass ein Vektor hat keine Dimension, meinst du vielleicht Einträge? Und selbstverständlich braucht man hier 4 Basisvektoren, vielleicht hilft \(K[X]_{\leq 3} \cong K^4\)   ─   mathejean 07.11.2021 um 13:44
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@sebii2 genau, in deiner Basis \(C\) fehlt aber noch ein Vektor (hast du wahrscheinlich vergessen abzutippen). Da du das ganze anscheinend eh direkt im \(K^4\) lösen willst, musst du \((1,0,0,0)\) mit den Vektoren \((a_3,a_2,a_1,a_0)\), \((b_3,b_2,b_1,b_0)\), usw. darstellen, dies korrespondiert dann mit der ersten Spalte der Basiswechselmatrix   ─   mathejean 07.11.2021 um 13:50
Ja genau da fehlt natürlich ein vektor.
Ist jetzt vielleicht eine dumme frage abet geht das überhaupt mit der linear kombination mit dem Vektor (1,0,0,0) ohne Bedingungen an die anderen parameter stellen zu müssen ?
   ─   sebii2 07.11.2021 um 15:21
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Sehr gut erkannt! Die Vektoren müssen alle linear unabhängig sein um eine Basis von \(K[X]_{\leq 3}\) zu bilden, das hängt natürlich von den Parametern ab. Beim rechnen merkst du dies daran, dass du irgendwo teilen musst.   ─   mathejean 07.11.2021 um 16:02
oke super.
also ich habe das LGS mit den Parametern gelöst und habe es in ZSF. ich versuche jetzt die Linearkombination von (1,0,0,0) zu finden. Ist es jetzt richtig in der vierten Gleichung die Koeffizienten gleich null zu setzten?   ─   sebii2 07.11.2021 um 17:12
Zeig mal bitte deine Rechnung...   ─   mathejean 07.11.2021 um 18:44

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