Du hast hier wohl das Produktzeichen mit einem Summenzeichen verwechselt. Deine Grundidee ist aber gut.

Man überlegt sich leicht, dass gilt:
\( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \)

Damit kann man nun den Induktionsschritt folgendermaßen durchführen:
\( \prod_{i=2}^{n+1} \left( 1 - \frac{1}{i^2} \right) \) \( = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \cdot \prod_{i=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{i^2} \right) \) \( = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \cdot \frac{n+1}{2n} \) \( = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \cdot \frac{n+1}{2n} \) \( = \frac{n+2}{2(n+1)} \)

Ich hoffe, dass das soweit nachvollziehbar ist.