Induktionsbeweis

Aufrufe: 60     Aktiv: 22.04.2021 um 17:11

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Hallo!

(ja, es ist die gleiche Frage wie von Vorhin, leider kann ich die Frage davor nicht mehr bearbeiten...)

Daher nochmals:

Ich kommen beim Induktionsschritt einfach nicht weiter, wahrscheinlich mangelt es bei mir deutlich beim Umformen...

 

Mein Induktionsschritt:

 

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Punkte: 28

 

Vergesst dieses Blatt da oben, ich habe da einen kompletten Schwachsinn geschrieben!

Kann mir wirklich niemand helfen bzw. mir vlt. den Induktionsbeweis/Induktionsschritt vorführen, denn ich bin wirklich schon am Verzweifeln... 😅
  ─   user7dde99 20.04.2021 um 22:53

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1 Antwort
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Du hast hier wohl das Produktzeichen mit einem Summenzeichen verwechselt. Deine Grundidee ist aber gut.

Man überlegt sich leicht, dass gilt:
\( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} \) \( = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \)

Damit kann man nun den Induktionsschritt folgendermaßen durchführen:
\( \prod_{i=2}^{n+1} \left( 1 - \frac{1}{i^2} \right) \) \( = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \cdot \prod_{i=2}^{n} \left( 1 - \frac{1}{i^2} \right) \) \( = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \cdot \frac{n+1}{2n} \) \( = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \cdot \frac{n+1}{2n} \) \( = \frac{n+2}{2(n+1)} \)

Ich hoffe, dass das soweit nachvollziehbar ist.
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Student, Punkte: 5.65K
 

Oh ja stimmt, bin wohl eher Induktionen mit Summenzeichen gewohnt... Ich Danke Dir wirklich vielmals für Deine Mühe und Geduld, jetzt kann
ich endlich mal die Aufgabe nachvollziehen! ;-)
  ─   user7dde99 20.04.2021 um 23:41

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