Man nennt diese Eigenschaft Gateaux-Differenzierbarkeit. Es folgt nicht notwendig Differenzierbarkeit, wie dieses Bsp. (im Punkt \((0,0)\)) zeigt: \begin{equation*}
f(x,y):=
\begin{cases}
\frac{x^3y}{x^4+y^2}&\qquad (x,y)\neq(0,0)\\
0&\qquad(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\end{equation*}
Die Gateaux-Differenzierbarkeit in \((0,0)\) ist einfach zu zeigen. Nicht so einfach ist es, zu zeigen, dass \(f\) in \((0,0)\) nicht differenzierbar ist. Probier mal.
Lehrer/Professor, Punkte: 4K