Weierstrass-Substitution

Aufrufe: 165     Aktiv: 09.12.2024 um 16:01
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Ein Integral von Sinus(x=0,5) (Beispiel) ergibt ein anderes Ergebnis als mit der Weiserstrass-Substitution:

Integral SIN(0,5)=-COS(0,5)+C=-0,8776

Weierstrass-Substitution für SIN(x): Integral (2t/(t²+1)*2/(t²+1))dt=-2/(t²+1)+C=-1,8776 mit t=TAN(0,5/2)

Warum sind die Ergebnisse um den Faktor 1 unterschiedlich (wenn ich C=0 setze)?

Mit freundlichen Grüssen
Klaus Wintersberg 

 


EDIT vom 06.12.2024 um 18:04:

ja, ist etwas knapp gefragt.
Das Beispiel ist x=0,5.
Integral SIN(x)=-COS(x)+C -> -COS(0,5)=-0,8776

Alternativ mit Weierstrass-Substitution (Weierstraß-Substitution – Wikipedia): SIN(x)=2t/(t²+1) mit t=TAN(x/2)
Integral SIN(x)=Integral 2t/(t²+1)dx -> dx=2/(t²+1))dt
Integral (2t/(t²+1)*2/(t²+1))dt->Stammfunktion F(t)=-2/(t²+1)+C.
Mit t=TAN(0,5/2) ergibt sich für die Stammfunktion F(t)=-1,8776 (und nicht wie erwartet -0,8776)?
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gefragt

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Was rechnest Du denn da? Ein unbestimmtes Integral steht für eine Stammfunktion, aber nicht für eine Zahl.
Und was heißt t=TAN(0,5/2)? Schreib das ganze mal sorgfältig, dann kann man das bestimmt klären.
   ─   mikn 06.12.2024 um 12:40
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2 Antworten
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Ich wiederhole: "Was rechnest Du denn da? Ein unbestimmtes Integral steht für eine Stammfunktion, aber nicht für eine Zahl."
Also, hast Du ein unbestimmtes Integral berechnet? Das ist eine Funktion, keine Zahl. Dann hast Du das C unter'n Tisch fallen lassen - es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Und bei zwei Stammfunktionen hast Du C1 und C2, nicht in beiden das gleiche C.
Hast Du ein bestimmtes Integral berechnet? Dann: welche Grenzen?
Wenn Du in zwei Stammfunktionen (nochmal: es gibt unendlich viele) denselben Wert einsetzt, kannst Du nicht erwarten, dasselbe Ergebnis zu erhalten.
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Etwas anders formuliert:
Warum ergibt die Weierstrass-Substitution bei der Integration von SIN(x) ein andere Stammfunktion?
Integration SIN(X)=-COS(X)+C
Weierstrass-Substitution: SINX=2t/(t²+1)->Integral SIN(x)=Integral 2t/(1+t²)dx -> dx=2/(1+t²))dt
Integral (2t/(t²+1)*2/(t²+1))dt->Stammfunktion F(t)=-2/(t²+1)+C
Diese Stammfunktion entspricht nicht der Weierstrass-Substitution von -COS(x)=-(1-t²)/(1+t²) !?

   ─   usera25392 07.12.2024 um 16:16
Und nochmal: das unbestimmte Integral liefert die allgemeine Stammfunktion, die ist in beiden Varianten dieselbe. Die unterschiedliche Darstellung (derselben allgemeinen Funktion) rührt vom Rechenweg her, das passiert auch bei anderen Substitutionen und auch bei manchen Umformungen.   ─   mikn 07.12.2024 um 17:45
Hmm...in der Tat, rechne ich \(\int \sin(x) \,dx\) mit Weierstrass aus, kommt \(\frac{-2}{1+t^2}\) raus, mit t=tan(x/2).
Und das ist ungleich \(\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\).
Aber \(\frac{1-t^2}{1+t^2}\) und \(\frac{-2}{1+t^2}\) unterscheiden sich nur um eine Konstante, nämlich 1.
Und Stammfunktionen dürfen sich um Konstanten unterscheiden - das ist genau die Integrationskonstante.   ─   m.simon.539 08.12.2024 um 00:55

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Hmm...in der Tat, rechne ich \(\int \sin(x) \,dx\) mit Weierstrass aus, kommt \(\displaystyle \frac{-2}{1+t^2}\) raus, mit \(t=\mbox{tan}(x/2)\).
Und das ist ungleich \(\displaystyle \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\).
Aber \(\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}\) und \(\displaystyle \frac{-2}{1+t^2}\) unterscheiden sich nur um eine Konstante, nämlich 1.
Und Stammfunktionen dürfen sich um Konstanten unterscheiden - das ist genau die Integrationskonstante.
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Vielen Dank für eure Antworten.
Daraufhin habe ich folgendes umgestellt:
-2/(1+t²)=-2/1+(tan(x/2)²)=...(Zwischenschritte)...=-1-cos(x).
Dies entspricht genau der Stammfunktion -2/(1+t²)+1(=C)=-cos(x).
Oder mit -2/(1+t²)+1=...=(t²-1)/(t²+1)=-cos(x).   ─   usera25392 09.12.2024 um 16:01

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