Hallo,
ich habe gerade germerkt, dass ich ein kompletter Trottel bin und statt dem "-" ein "+" genommen habe. Ich hoffe die Ideen helfen dir trotzdem auch für deine Folge! :P
Du hast für \(n\geq2\) (wenn du falsch liest) die Gleichung:
$$t_n=2t_{n-1}+t_{n-2}+2^{n-2}$$
Du kannst dir ja mal ein paar Folgenglieder von \(t_n\) anschauen:
$$t_0=0\quad t_1=0\quad t_2=1\quad t_3=4\quad t_4=13\quad t_5=38\quad t_6=105\quad t_7=280\quad t_8=729$$
Wenn du zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder durcheinander teilst siehst du, dass der Wert immer kleiner wird, aber immer mindestens \(2\) beträgt. Somit kommst du leider mit \(2^n\) nicht weiter (das hab ich verzweifelt probiert). Schau dir mal die Pell-Folge an. Die hat die Werte:
$$P_0=0\quad P_1=1\quad P_2=2\quad P_3=5\quad P_4=12\quad P_5=29\quad P_6=70\quad P_7=169\quad P_8=408$$
Sie hat fast das gleiche Verhalten wie deine Folge und die explizite Form:
$$\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$$
Vielleicht merkt man erstmal nicht, dass sie fast das gleiche Verhalten hat, aber wenn wir sie um eins nach rechts verschieben, wird es vielleicht noch deutlicher. Wir betrachten also:
$$Q_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}$$
Die Folgenwerte sind jetzt:
$$Q_0=1\quad Q_1=2\quad Q_2=5\quad Q_3=12\quad Q_4=29\quad Q_5=70\quad Q_6=169\quad Q_7=408$$
Die Differenz \(D\) zu deiner Folge sieht sehr vertraut aus:
$$D_0=1\quad D_1=2\quad D_2=4\quad D_3=8\quad D_4=16\quad D_5=32$$
Also gilt \(D_n=2^{n}\). Wenn wir also die Folge \(t_n=Q_n-D_n\) betrachten, hat sie die Werte:
$$t_0=0\quad t_1=0\quad t_2=1\quad t_3=4\quad t_4=13\quad t_5=38\quad t_6=105\quad t_7=280\quad t_8=729$$
Somit ist die explizite Form wohl:
$$t_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}-2^n$$
Das muss jetzt noch bewiesen werden. Wir setzen die Folge in die Rekursionsgleichung ein und erhalten:
$$2t_{n-1}+t_{n-2}+2^{n-2}$$
$$=2\cdot\Bigl(\frac{(1+\sqrt{2})^{n}-(1-\sqrt{2})^{n}}{2\sqrt{2}}-2^{n-1}\Bigr)+\Bigl(\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}-(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-2^{n-2}\Bigr)+2^{n-2}$$
$$=\frac{2(1+\sqrt{2})^{n}-2(1-\sqrt{2})^{n}}{2\sqrt{2}}-2^{n}+\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}-(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}$$
$$=\frac{2(1+\sqrt{2})^{n}+(1+\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-\frac{2(1-\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-2^{n}$$
$$=\frac{(2+2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{n-1}+(1+\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-\frac{(2-2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{n-1}+(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-2^{n}$$
$$=\frac{(1+2\sqrt{2}+2)(1+\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-\frac{(1-2\sqrt{2}+2)(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-2^{n}$$
$$=\frac{(1+\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-\frac{(1-\sqrt{2})^2(1-\sqrt{2})^{n-1}}{2\sqrt{2}}-2^{n}$$
$$=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}-\frac{(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}-2^{n}$$
$$=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}-2^n=t_n$$
Somit haben wir eine explizite Form gefunden! :)