Kern einer Matrix bestimmen

Aufrufe: 217     Aktiv: 30.07.2023 um 23:08

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Hallo,
ich habe eine 2x2 Matrix, bei der ich die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen soll.
Die Matrix lautet B = (1 3, 0 1). Dabei bekommt man den doppelten Eigenwert Lambda = 1.
Setzt man das für Lambda ein, um den Eigenraum zu bestimmen, so kommt man auf den Kern (0 3, 0 0).
Wie komme ich nun auf den Eigenvektor? Die Lösung muss ein linearer Aufspann von (1, 0) sein.
Kann mir jemand den Rechenweg erklären?
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Der Eigenraum ist die Lösungsmenge des LGS $(A-\lambda I)x=0$, d.h. hier ist das LGS $\begin{pmatrix}0 & 3\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$ zu lösen.
Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen, unterbestimmtes LGS. Wie man so etwas löst, solltest Du einige Wochen vorher gelernt haben. Stichwort: Eine Komponente als Parameter wählen, nach der anderen umstellen. Oder in diesem Fall durch scharfes Hinsehen (normale Matrix mal Vektor Multiplikation: wieviel mal die erste Spalte plus wieviel mal zweite Spalte gibt den Nullvektor?).
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Mein Professor hat in den Lösungen einen linearen Aufspann von (1,0). Ich gehe mal davon aus, da hat er sich einfach verschrieben?   ─   user4cf5ad 30.07.2023 um 21:59

Nein, da hat er schon recht. Auf was kommst Du denn? Streng genommen hängt es aber von der genauen Aufgabenstellung ab, die hast Du uns nicht genannt ("ich soll..." ist keine Aufgabenstellung). Wie lautet die Aufgabe im Original?   ─   mikn 30.07.2023 um 22:17

Die Aufgabe lautet: "Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix B = (1 3, 0 1). Ist die Matrix B diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Also wenn ich einen Parameter x1 oder x2 = t wähle, dann komme ich doch trotzdem immer auf (0, 0) oder? Denn 0t + 3x2 = 0, oder 0x1 + 3t = 0. Diese Gleichungen sind doch immer nur erfüllt, wenn alles Null ist.
  ─   user4cf5ad 30.07.2023 um 22:37

Nein, kommst Du nicht, weil t bleibt ja t und wird nicht auf einmal zu 0. Schreib die Lösung als Vektor mit dem Parameter t auf, dann solltest Du auch sehen, wie was aufgespannt wird.
In der Aufgabe ist nach dem Eigenraum gefragt, und nicht nach dem Eigenvektor. Das ist bei der Antwort am Ende auch zu bedenken.
  ─   mikn 30.07.2023 um 23:08

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