Winkelfunktionen und Zusammenhänge

Erste Frage Aufrufe: 99     Aktiv: 27.06.2021 um 18:32

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Hallo,
Ich habe ein kleines Verständnissproblem bei den Winkelfunktionen und dessen Zusammenhänge und zwar würde ich mir gerne folgende Sätze zeichnen um diese besser zu verstehen, allerdings  tue ich mich da ein wenig schwer.

sin(90° - a) = sin(90° + a) = cos a
cos(90° - a) = -cos(90° + a) = sin a
cos(180° - a) = cos(180° + a) = -cos a

Es gibt natürlich mehrerer es geht mir aber hauptsächlich an die rangehensweise.

Wie ich es mir bis jetzt vorgestellt habe ist wie folgend:

- Zeichne 90° Winkel und von diesem dann +/- a soweit wäre mir auch klar aber dann stimmt cos a nicht mehr deswegen denke ich dass meine Herangehensweise falsch ist.

Wäre sehr nett wenn mich ja jemand erleuchten könnte. :-)
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Ich empfehle das Veranschaulichen an einem Einheitskreis.
Der Winkel $\alpha$ wird gegen den Uhrzeigersinn zur $x$-Achse gemessen. Trage den Winkel jeweils entsprechend ein.
Der Schnittpunkt des Schenkels des Winkels hat einen Schnittpunkt $P$ mit dem Einheitskreis: Die Koordinaten sind $P\left(\cos(\alpha)|\sin(\alpha)\right)$. Also kann man den Sinus-Wert an der $y$-Achse und den Kosinus-Wert an der $x$-Achse ablesen.

Zeichne für jede der gesuchten Beziehungen zwei gegebene Winkel in einen Einheitskreis ein und vergleiche die Koordinaten von den beiden Schnittpunkten, die sich ergeben.
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d.h wenn ich z.b sin(90° - a) habe trage ich dann einfach: einen Winkel bei 90° ein und einen bei -a?   ─   damnefox 27.06.2021 um 17:25

(ich hatte vorausgesetzt, dass der Einheitskreis bekannt ist - stimmt das überhaupt? Falls ja...)

Du suchst Du ein $\alpha<90^\circ$ aus und trägst einen Winkel mit $90^\circ-\alpha$ und einen Winkel mit $90+\alpha$ ein. Das sind doch die beiden Werte in den Klammern der ersten Zeile.
  ─   joergwausw 27.06.2021 um 17:39

Der Einheitskreis ist mir bekannt. das Problem was ich hatte und deswegen auch meine Frage(Entschuldigung) wenn ich den Winkel 90 + a eintrage dann ist doch der cosinus nicht mehr positiv sondern negativ. genau da liegt mein Problem und mein hänger.   ─   damnefox 27.06.2021 um 18:10

Beim Kosinus steht ja gar nicht $90+\alpha$, sondern nur $\alpha$. Wenn es die Zeichnung mit den beiden Sinus-Winkeln gibt, dann bräuchte man für den Kosinus eigentlich einen Spiegel, der im 45°-Winkel zwischen $x$- und $y$-Achse steht. Denn dann sieht man, dass $90^\circ-\alpha$ zur $y$-Achse (also zur Sinus-Achse) den gleichen Winkel hat wie $\alpha$ zur Kosinus-Achse ($x$-Achse).

Alternativ kann $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos(\alpha)$ aber auch mit der jeweiligen Definition über Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse sowie dem dritten Winkel begründet werden - denn den kann man im rechtwinkligen Dreieck ja auch ausrechnen und ist "zufällig" $\beta=90^\circ-\alpha$ groß.
  ─   joergwausw 27.06.2021 um 18:30

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