Permutation mit Wdh soll möglichst gross sein!

Aufrufe: 65     Aktiv: 16.03.2021 um 19:25

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Hey zusammen ich habe folgende Aufgabe

In einem Fussballspiel der Mannschaften A gegen B sei das Endresultat 5 : 3 für A. Eine mögliche Torfolge ist: A schiesst 2 Tore, dann B eines, dann A 3 Tore, dann B 2 Tore.

a) Wie viele verschiedene Torfolgen zum Endresultat gibt es?

Lösung: Jede Torfolge kann als A-B-Wort beschrieben werden mit der Länge 8 welches 5 A's und 3 B's enthält. Um bei diesem Wort alle möglichen Anordungen zu erfahren setzen wir es ein in die Formel für Permutation mit Wdh. Einsetzen in k!/m1!*m2! --> Also: 8!/(5!*3!) = 56. 

b) In einem Spiel seien t Tore gefallen. Bei welchen Endresultaten gibt es am meisten Torfolgen? Wie gross ist also die maximale Zahl der Torfolgen. 

Mein Ansatz ist, dass k möglichst gross sein muss und m1 und m2 möglichst klein sein müssen, damit das Resultat, also die Zahl von Torfolgen möglichst gross wird.

Wie berechnet man nun das Ideale Endresultat eines Fusballspieles, damit die Zahl an Torfolgen maximal ist?




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Intuitiv bist du vielleicht schon auf die idee gekommen, dass es relativ ähnlich viele Tore von beiden mannschaften geben muss, damit es viele verschiedene torfolgen gibt. So ergibt sich nämlich in der formel, dass \(m_1\) bzw \(m_2\) relativ klein sind. 

Jetzt ist also die frage wie man das zeigen kann:

wir wissen ja bereits, dass wenn team A \(k\) tore macht, dass es dann \( \frac{t!}{k! \cdot (t-k)!}\) verschiedene torfolgen gibt. für die bestimmung des maximums an torfolgen reicht natürlich schon anzunehmen, dass \(k \leq \frac{t}{2}\).

wenn man nun also \(k\) um \(1\) vergrößert, erhält man \( \frac{t!}{(k+1)! \cdot (t-(k+1))!} = \frac{t!}{k! \cdot (t-k)!} \cdot \frac{t-k}{k+1}\) torfolgen. dabei ist \(\frac{t-k}{k+1} > 1\) solange \(k < \frac{t}{2}\).

Somit haben wir also gezeigt, dass es mehr torfolgen gibt, wenn man \(k\) vergrößert, solange \(k\) noch nicht größer als die hälft von \(t\) ist. das entspricht also genau unserer intuition.

ich hoffe das hilft dir weiter, sonst frag nochmal nach
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Okay danke vielmals für deine Antwort! Hat mir bereits sehr weitergeholfen. Aber was heisst dies jetzt Konkret für die Aufgabe. "Bei welchen Endresultaten gibt es am meisten Torfolgen? Wie gross ist also die maximale Zahl der Torfolgen. " Gruss   ─   userdc8b66 15.03.2021 um 16:45

Entschuldige bitte die späte antwort. So wie ich es beschrieben habe, wäre das ja dann der fall wenn der endstand \( \frac{t}{2} : \frac{t}{2} \) lauten würde falls \(t\) gerade ist ( bzw \( \frac{t-1}{2} : \frac{t+1}{2} \) falls \(t\) ungerade sein sollte).   ─   b_schaub 16.03.2021 um 19:25

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