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Im Aufgabenteil a) sollst du die Ereignismengen \(E_1\) und \(E_2\) nennen.
Das erste Ereignis sagt aus, dass die Summe der beiden gezogenen Kugeln 7 ergibt. Entsprechend der Abbildung erhält man:
\(E_1 = \{ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) \} \).
Das zweite Ereignis sagt aus, dass beide gezogenen Kugeln Nummern haben, die kleiner als 4 sind. Entsprechend der Abbildung erhält man hier:
\( E_2 = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \).
Damit ist Aufgabenteil a) erledigt. In Aufgabenteil b) soll man die Schnittmenge der beiden Mengen bestimmen, d.h. die Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. Wir erhalten:
\( E_1 \cap E_2 = \{ \} = \emptyset \).
Die Schnittmenge ist die leere Menge. Es gibt keine gemeinsamen Elemente, da die Summe zweier Kugeln mit Werten kleiner 4 maximal 6 sein kann und damit nie eine Augensumme von 7 erreichen kann.
Zu Aufgabenteil c): Das Ereignis eines Gewinns ist \(E_1 \cup E_2 \). Nach dem Additionssatz gilt:
\( P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)\).
Wegen \(E_1 \cap E_2 = \emptyset\) ist \(P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = 0\).
Nun müssen wir noch \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\) bestimmen. Da wir uns in einem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum befinden, indem alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, gilt:
\( P(E_1) = \frac{Anzahl \, Elemente \, in \, E_1}{Anzahl \, Elemente \, in \, \Omega} = \frac{6}{8 \cdot 6} = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}\),
\( P(E_2) = \frac{Anzahl \, Elemente \, in \, E_2}{Anzahl \, Elemente \, in \, \Omega} = \frac{9}{8 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{3}{16}\).
Damit ergibt sich insgesamt:
\(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{2}{16} + \frac{3}{16} - 0 = \frac{5}{16}\).
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