Funktionalanalysis - Konpakte Operatoren

Erste Frage Aufrufe: 154     Aktiv: 27.05.2025 um 12:22
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Sei X ein Banachraum und unendlichdimensional. Dann gilt d(Id, K(X)) = 1. Hierbei steht K(X) für den Vektorraum aller kompakten Operatoren T : X —> X.
Ich setzte d := d(Id,K(X)). Dann gilt weil 0 in K(X) ist, schon mal d <= 1. Nun muss ich d >= 1 noch zeigen und dafür reicht ja || Id - T || >= 1 für alle T in K(X) zu zeigen.
Meine Idee war es: Da dim(X) unendlich ist, ist Id nicht kompakt, also auch Id-T nicht. Wie kann ich aber jetzt weiter vorgehen. Ich würde mich auf jede Hilfe freuen.
  • PS: Der Hinweis T = Id-(Id-T)
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Angenommen, wir haben

$$\Vert T-Id  \Vert<1. $$

Dann konvergiert die Neumann-Serie

$$(Id-T)^{-1}=\sum_k T^k $$und \(T=Id-(Id-T) \) ist invertierbar mit stetigen Inversem. Kann ein kompakter Operator invertierbar sein? Nein! Das kriegst du jetzt aber denke ich selber hin ;-)

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Danke! Ich habe die restliche Argumentation gemacht. Ist die richtig?

Weil T dann nach der Neunmannreihe invertierbar und kompakt ist, ist also die Identität Id als Produkt (Komposition) von dem kompakten Operator T und seiner stetigen Umkegrabbildung auch kompakt, woraus aber fongt, dass X endlichdimenional ist (also die Kontraposition), denn wäre X unendlichdimensional, so wäre B = Id(B) nicht relativkompakt, wobei B der Einheitsball ist und damit Id nicht kompakt.   ─   userc8ce94 27.05.2025 um 12:21

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