Der Rechenweg wäre:

\(T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{i+mr^2}{mgr}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{T}{2 \pi} = \sqrt{\frac{i+mr^2}{mgr}} \)

\(\Leftrightarrow \left( \frac{T}{2 \pi} \right)^2 =  \frac{i+mr^2}{mgr}\) Quadrieren

\( \Leftrightarrow mgr \cdot   \frac{T^2}{4 \pi^2} = i+mr^2 \)

\( \Leftrightarrow mgr \cdot   \frac{T^2}{4 \pi^2} - mr^2 = i\)

\(\Leftrightarrow  i =      \frac{mgrT^2}{4 \pi^2} - mr^2 \)

Erst einmal schreibe ich den Rechenweg hin und erkläre anschließend die einzelnen Schritte.

(1)  \( T=2 \pi * \sqrt{\frac {i+mr^{2}} {m*g*r}} \)  | \( / (2\pi) \)

(2)  \( \frac {T} {2\pi} =\sqrt{\frac {i+mr^{2}} {m*g*r}} \)  | \( ( )^{2} \)

(3)  \( (\frac {T} {2\pi})^{2} =\frac {i+mr^{2}} {m*g*r} \)  | \( *m*g*r\)

(4)  \( (\frac {T} {2\pi})^{2} *m*g*r =i+mr^{2} \)  | \( -mr^2 \)  

(5)  \( (\frac {T} {2\pi})^{2} * mgr -mr^{2} = i \)

Grundsätzlich gilt immer: Setzt du eine Rechenoperation (Plus, Minus, Geteilt, Wurzel...) ein, muss diese Rechnung auf beiden Seiten durchgeführt werden. Also links neben dem Gleichheitszeichen und rechts neben dem Gleichheitszeichen muss die Rechenoperation durchgeführt werden.

(1) Erst teilst du durch \( 2\pi \), damit der Wurzelausdruck alleine da steht. Denn in dem Wurzelausdruck ist das i, was du letzten Endes "isolieren" möchtest.

(2) "Wie kriegt man einen Wurzelausdruck weg?" ist jetzt die Frage. Generell gilt: Um etwas wegzubekommen, muss man immer die Gegenoperation durchführen. Um zum Beispiel \( -2x \) wegzubekommen, machst du die Gegenoperation \( +2x \). In dem Fall ist die Gegenoperation das Potenzieren. Damit löst sich die Wurzel auf. Vergiss aber dann nicht auf der "linken" Seite auch zu potenzieren.

(3) Nach Bruchgesetzen lassen sich die Nenner wegkürzen, wenn man den gleichen Ausdruck wie im Nenner mit dem Bruch multipliziert. 

(4) Jetzt einfach nur die Gegenoperation von \( +mr^{2} \) rechnen, also  \( -mr^{2} \)

(5) Ergebnis.

Falls du noch Fragen hast, versuche ich sie so verständlich wie möglich zu beantworten.