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Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Der Endomorphismus \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ist durch die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 2 \\
-3 & -2 & -1
\end{array}\right) \)
gegeben.
Zeigen Sie, dass die nilpotente Abbildung \( g:=\left.(f-\mathrm{id})\right|_{H}: H \rightarrow H \) die Normalform \( J_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) \) hat, und bestimmen eine Basis \( Y \) für \( H \), so dass \( M_{g, Y, Y} \) in Normalform ist.

Die Eigenwerte, Vielfachheiten und den Hauptraum habe ich schon bestimmt:
$\mathbb{Hau}(f,1)=Ker(A-E_3)^2)= \Biggl< \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \Biggr>$

Mein Problem liegt jetzt bei der Abbildung \( g:=\left.(f-\mathrm{id})\right|_{H}: H \rightarrow H \). Ich kann mir nicht viel unter einer Einschränkung auf $H$ von einer Matrix vorstellen. Wie dem auch sei, ich suche zwei Basisvektorenm sodass ich $f-id$ als Darstellungsmatrix bzgl. eben diesen Vektoren schreiben kann und da soll eine $2x2$ Matrix rauskommen. Nun ist ein weiteres Problem, dass unser Verfahren zur Bestimmung der Jordan Normalform, eine symetrische Matrix voraussetzt. Also kann ich auch nicht einfach $H$ nehmen. Mir fehlt da aktuell einfach eine "Startmatrix".

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Was ist \(H\)? Warum kennen nur JNF für symmetrische Matrizen (in R es ist dann ja immer diagonal)   ─   mathejean 15.01.2023 um 10:56

Aso,ja die Notation habe ich vergessen, sorry: $H = \mathbb{Hau}(f,1)$ also der Hauptraum. Auch meine Aussage mit den symmetrischen Matrizen ist quatsch, da hab ich zwei Begriffe durcheinander gewürfelt. Wir haben das Verfahren nur für Matrizen von der Form $n \times n$ gemacht, klar, was anderes wäre ja auch irgendwie komisch. Mein Problem liegt vielmehr darin, die "Startmatrix" zu finden, mit der alles losgehen soll. Ich muss ja das Verfahren auf irgendwas anwenden. Die Matrix $A$ liefert da sicherlich nicht die gewünschte Form, weil ich ja mit der Einschränkung auf den Hauptraum arbeiten soll. Und den Hauptraum einfach als Matrix aufzufassen ist auch Murks, weil ich sonst ne $3 \times 2$ Matrix hätte.   ─   debiant3x 15.01.2023 um 14:02
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Okay, Haupträume sind \(f\)-invariant, deshalb macht die Einschränkung Sinn. Wenn \(Y=(v_1,v_2)\) Basis von \(H\) du kannst ergänzen zu Basis von \(V\) mit \(B:=(v_1,v_2,v_3)\). Es ist dann $$M_{f,B,B}=\begin{pmatrix}M_{g,Y,Y} & 0 \\ 0 & M_{f_{|\langle v_3 \rangle}, \ldots} \end{pmatrix}$$
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