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Ich habe folgende Menge gegeben \( U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq 2, z \geq 0\right\} \)
und möchte das Integral $\int \limits_{U} z d U$ berechnen, dazu transformiere ich $U$ mit Kugelkoordinaten:
\( \Phi(r, \varphi, \phi)=(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) \)
\( U=\Phi(\tilde{U}) \)
\( 1 \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq 2 \Rightarrow 1 \leq \sqrt{r^{2}} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq r \leq 2 \)
\( z \geq 0 \Rightarrow r \cdot \cos \theta \geq 0 \Rightarrow \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( \tilde{U}=\{(r, \varphi, \theta) \mid r \in[1,2], \varphi \in] 0,2 \pi[, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \} \)
\( f(x, y, z)=z, \quad f(\phi(r, \varphi, \theta))=r\cos \theta, \quad \operatorname{det} D \phi(r, \varphi, \theta)=-r^{2} \sin \theta \)
$$ \int \limits_{\phi(\tilde{U})=U} z d U=\int \limits_{\tilde{U}} r \cdot \cos \theta \cdot\left(-r^{2} \cdot \sin \theta\right) d \tilde{U}=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int \limits_{1}^{2}-r^{3} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta d r d \theta d \varphi $$ $$=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{9}}\left[-\frac{1}{4} r^{4} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta\right]_{r=1}^{r=2} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left[\frac{\sin ^{2} \theta}{2}\right]_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\theta=\frac{\pi}{2}} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} d \theta=0 $$
Jetzt kommt hier am Ende eine 0 heraus, das wirkt auch mich etwas unrealistisch, weil ich mir unter $U$ eine Halbkugel vorstelle, dessen Radius ja auch ungleich 0 ist. Könnte da ggf. jemand mal drüber schauen, ich hoffe ich habe beim abtippen keine Fehler hier rein gebaut, aber ich denke mein Problem müsste ja irgendwie fundamentaler sein.
und möchte das Integral $\int \limits_{U} z d U$ berechnen, dazu transformiere ich $U$ mit Kugelkoordinaten:
\( \Phi(r, \varphi, \phi)=(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) \)
\( U=\Phi(\tilde{U}) \)
\( 1 \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq 2 \Rightarrow 1 \leq \sqrt{r^{2}} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq r \leq 2 \)
\( z \geq 0 \Rightarrow r \cdot \cos \theta \geq 0 \Rightarrow \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( \tilde{U}=\{(r, \varphi, \theta) \mid r \in[1,2], \varphi \in] 0,2 \pi[, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \} \)
\( f(x, y, z)=z, \quad f(\phi(r, \varphi, \theta))=r\cos \theta, \quad \operatorname{det} D \phi(r, \varphi, \theta)=-r^{2} \sin \theta \)
$$ \int \limits_{\phi(\tilde{U})=U} z d U=\int \limits_{\tilde{U}} r \cdot \cos \theta \cdot\left(-r^{2} \cdot \sin \theta\right) d \tilde{U}=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int \limits_{1}^{2}-r^{3} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta d r d \theta d \varphi $$ $$=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{9}}\left[-\frac{1}{4} r^{4} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta\right]_{r=1}^{r=2} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left[\frac{\sin ^{2} \theta}{2}\right]_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\theta=\frac{\pi}{2}} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} d \theta=0 $$
Jetzt kommt hier am Ende eine 0 heraus, das wirkt auch mich etwas unrealistisch, weil ich mir unter $U$ eine Halbkugel vorstelle, dessen Radius ja auch ungleich 0 ist. Könnte da ggf. jemand mal drüber schauen, ich hoffe ich habe beim abtippen keine Fehler hier rein gebaut, aber ich denke mein Problem müsste ja irgendwie fundamentaler sein.
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hakn
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\(detD=r^2sin(\phi)\) ─ dragonbaron 20.07.2022 um 11:20