Ich habe folgende Menge gegeben \( U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq 2, z \geq 0\right\} \)
und möchte das Integral $\int \limits_{U} z d U$ berechnen, dazu transformiere ich $U$ mit Kugelkoordinaten:
\( \Phi(r, \varphi, \phi)=(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) \)
\( U=\Phi(\tilde{U}) \)
\( 1 \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \leq 2 \Rightarrow 1 \leq \sqrt{r^{2}} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq r \leq 2 \)
\( z \geq 0 \Rightarrow r \cdot \cos \theta \geq 0 \Rightarrow \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)

\( \tilde{U}=\{(r, \varphi, \theta) \mid r \in[1,2], \varphi \in] 0,2 \pi[, \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \} \)

\( f(x, y, z)=z, \quad f(\phi(r, \varphi, \theta))=r\cos \theta, \quad \operatorname{det} D \phi(r, \varphi, \theta)=-r^{2} \sin \theta \)


$$ \int \limits_{\phi(\tilde{U})=U} z d U=\int \limits_{\tilde{U}} r \cdot \cos \theta \cdot\left(-r^{2} \cdot \sin \theta\right) d \tilde{U}=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int \limits_{1}^{2}-r^{3} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta d r d \theta d \varphi $$ $$=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{9}}\left[-\frac{1}{4} r^{4} \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta\right]_{r=1}^{r=2} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left[\frac{\sin ^{2} \theta}{2}\right]_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\theta=\frac{\pi}{2}} d \theta d \varphi=-\frac{15}{4} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} d \theta=0 $$

Jetzt kommt hier am Ende eine 0 heraus, das wirkt auch mich etwas unrealistisch, weil ich mir unter $U$ eine Halbkugel vorstelle, dessen Radius ja auch ungleich 0 ist. Könnte da ggf. jemand mal drüber schauen, ich hoffe ich habe beim abtippen keine Fehler hier rein gebaut, aber ich denke mein Problem müsste ja irgendwie fundamentaler sein.