Von Vektorräumen und Endomorphismen

Aufrufe: 88     Aktiv: 09.03.2021 um 21:41

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Hallo liebe Helfer



Ich habe bei der obigen Aufgabe 2 Fragen. 

1.Ich verstehe nicht ganz, was mit V/U gemeint ist, bzw kann es mir nicht vorstellen. Wir wissen z.B dass bei Modulo 7 die Äquivalenzklassen 0-6 existieren.. kann man das so irgenwie vergleichen? Also dass alle vektoren von U zu der 0 geschickt werden? Aber was passiert dann mit den anderen? 

2. Wie soll ich zeigen, dass das Quadrat kommutativ ist? Will man da zeigen, dass f o π o h = h o  π o f ? 

Vielen Dank jetzt schon für die Hilfe und die Zeit 
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Zur ersten Frage:
Deine Intuition ist da schon gar nicht so schlecht. Alle Elemente aus \(U\) werden auf die null geschickt. genau genommen schaut man sich in \(V/U\) äquivalenzklassen an. (genauso wie in \(\mathbb{Z}_2\) gilt, dass \(1=1+2=3\) ist gilt in \(V/U\) dann \(v = v+u \) für alle \(v \in V, u \in U\).
Eigentlich müsstet ihr dazu auch eine Definition im Skript haben.

Zur zweiten Frage:
Man kann sich Diagramme so deutlich machen, dass man mithilfe der funktionen immer nur in Pfeilrichtung laufen kann (außer in bestimmten spezialfällen).
Damit ein Diagramm kommutiert, darf es also nun keinen unterschied machen welchen weg ich gewählt habe, um ein element auf ein zielobjekt abzubilden.

In dem Fall bedeutet das also, dass \(\pi ( f (x)) = h(\pi(x))\) für alle \(x \in V\) gelten muss, damit das Diagramm kommutiert.
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Vielen lieben Dank ! da ist es mir schon viel klarer! Habe es inzwischen einmal aufgezeichnet , jetzt bleibt mir jedoch noch eine weitere Frage, wenn ich v in V\U nehme, kann f(v) trotzdem in U sein oder? dann währe es dort zu zeigen, dass dann ein solches f(v) ∈ U per π zu 0 gesendet wird für den Fall h( π(x))
  ─   bünzli 09.03.2021 um 16:21

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nicht mal zwangläufig per \(\pi\) sondern eventuell ja erst durch \(h\).
Um das zeigen zu können ist es also entscheidend, das richtige \(h\) zu wählen. Hast du dir das \(h\) schon gewählt?
(Tipp: bei der wahl von \(h\) musst ja irgendwie nehmen was da ist - und es gibt nicht gerade viel zur auswahl, also ist in dem fall schon das kanonischste das richtige)
  ─   b_schaub 09.03.2021 um 17:20

Beim überlegen hätte ich jetzt gedacht, das \(h\) sich wie \(f\) verhält.
die Äquivalenzklasse 0 wird dann wieder zu 0 gesendet (weil \(f\)(0) bzw \(h\)(0) c \(U\) per Definition ( 0 ∈ von jedem subspace und per Definition \(f\)(u) c \(U\))) und die Klasse v\(_{i}\) \(\neq\) 0 entweder zu 0 (falls \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(U\) ) oder wieder zu einer Äquivalenzklasse \(\neq\) 0 wenn \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(V\)\\(U\) , dies gilt dann für alle v\(_{i}\) ∈ \(V\)/\(U\).
Würde das so Sinn machen ?
  ─   bünzli 09.03.2021 um 17:59

Weitere Idee:
Ich habe nun etwas über die Quotientenabbildungen gelesen, habe ich das richtig verstanden, dass wenn \(f\): \(V\) \(\to\) \(V\) surjektiv (was mit einem endomorphismus ja gegeben ist), dann ist π bijektiv ? oder bin ich jetzt komplett lost ? :') bei \(h\) könnte ich ja die bijektivität zeigen, und wenn ich weiss, dass \(h\) und π bijektiv , kann ich per Umweg auch zeigen, dass \(f\) bijektiv sein muss. Somit wäre das Quadrat kommutativ ?
  ─   bünzli 09.03.2021 um 20:07

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am einfachsten ist es hier, die kommutativität mithilfe der definierenden eigenschaft zu zeigen (also \(\pi ( f (x)) = h(\pi(x))\)).
Die erste idee war schon gut - \(f\) kannst du auf kanonische weise auf \(V/U\) definieren. Der rest sollte dadurch eigentlich nur noch eine rechnung sein, startend mit \(x \in V\) und dann schauen was je nach weg passiert.
  ─   b_schaub 09.03.2021 um 20:32

ok super, danke dir vielmals für die Mühe! Ich verstehe nun was gemeint ist : )   ─   bünzli 09.03.2021 um 21:41

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