(Twitter)
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Zur ersten Frage:
Deine Intuition ist da schon gar nicht so schlecht. Alle Elemente aus \(U\) werden auf die null geschickt. genau genommen schaut man sich in \(V/U\) äquivalenzklassen an. (genauso wie in \(\mathbb{Z}_2\) gilt, dass \(1=1+2=3\) ist gilt in \(V/U\) dann \(v = v+u \) für alle \(v \in V, u \in U\).
Eigentlich müsstet ihr dazu auch eine Definition im Skript haben.
Zur zweiten Frage:
Man kann sich Diagramme so deutlich machen, dass man mithilfe der funktionen immer nur in Pfeilrichtung laufen kann (außer in bestimmten spezialfällen).
Damit ein Diagramm kommutiert, darf es also nun keinen unterschied machen welchen weg ich gewählt habe, um ein element auf ein zielobjekt abzubilden.
In dem Fall bedeutet das also, dass \(\pi ( f (x)) = h(\pi(x))\) für alle \(x \in V\) gelten muss, damit das Diagramm kommutiert.
Deine Intuition ist da schon gar nicht so schlecht. Alle Elemente aus \(U\) werden auf die null geschickt. genau genommen schaut man sich in \(V/U\) äquivalenzklassen an. (genauso wie in \(\mathbb{Z}_2\) gilt, dass \(1=1+2=3\) ist gilt in \(V/U\) dann \(v = v+u \) für alle \(v \in V, u \in U\).
Eigentlich müsstet ihr dazu auch eine Definition im Skript haben.
Zur zweiten Frage:
Man kann sich Diagramme so deutlich machen, dass man mithilfe der funktionen immer nur in Pfeilrichtung laufen kann (außer in bestimmten spezialfällen).
Damit ein Diagramm kommutiert, darf es also nun keinen unterschied machen welchen weg ich gewählt habe, um ein element auf ein zielobjekt abzubilden.
In dem Fall bedeutet das also, dass \(\pi ( f (x)) = h(\pi(x))\) für alle \(x \in V\) gelten muss, damit das Diagramm kommutiert.
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b_schaub
Student, Punkte: 2.33K
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nicht mal zwangläufig per \(\pi\) sondern eventuell ja erst durch \(h\).
Um das zeigen zu können ist es also entscheidend, das richtige \(h\) zu wählen. Hast du dir das \(h\) schon gewählt?
(Tipp: bei der wahl von \(h\) musst ja irgendwie nehmen was da ist - und es gibt nicht gerade viel zur auswahl, also ist in dem fall schon das kanonischste das richtige) ─ b_schaub 09.03.2021 um 17:20
Um das zeigen zu können ist es also entscheidend, das richtige \(h\) zu wählen. Hast du dir das \(h\) schon gewählt?
(Tipp: bei der wahl von \(h\) musst ja irgendwie nehmen was da ist - und es gibt nicht gerade viel zur auswahl, also ist in dem fall schon das kanonischste das richtige) ─ b_schaub 09.03.2021 um 17:20
Beim überlegen hätte ich jetzt gedacht, das \(h\) sich wie \(f\) verhält.
die Äquivalenzklasse 0 wird dann wieder zu 0 gesendet (weil \(f\)(0) bzw \(h\)(0) c \(U\) per Definition ( 0 ∈ von jedem subspace und per Definition \(f\)(u) c \(U\))) und die Klasse v\(_{i}\) \(\neq\) 0 entweder zu 0 (falls \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(U\) ) oder wieder zu einer Äquivalenzklasse \(\neq\) 0 wenn \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(V\)\\(U\) , dies gilt dann für alle v\(_{i}\) ∈ \(V\)/\(U\).
Würde das so Sinn machen ? ─ bünzli 09.03.2021 um 17:59
die Äquivalenzklasse 0 wird dann wieder zu 0 gesendet (weil \(f\)(0) bzw \(h\)(0) c \(U\) per Definition ( 0 ∈ von jedem subspace und per Definition \(f\)(u) c \(U\))) und die Klasse v\(_{i}\) \(\neq\) 0 entweder zu 0 (falls \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(U\) ) oder wieder zu einer Äquivalenzklasse \(\neq\) 0 wenn \(h\)(v\(_{i}\)) bzw \(f\)(v\(_{i}\)) ∈ \(V\)\\(U\) , dies gilt dann für alle v\(_{i}\) ∈ \(V\)/\(U\).
Würde das so Sinn machen ? ─ bünzli 09.03.2021 um 17:59
Weitere Idee:
Ich habe nun etwas über die Quotientenabbildungen gelesen, habe ich das richtig verstanden, dass wenn \(f\): \(V\) \(\to\) \(V\) surjektiv (was mit einem endomorphismus ja gegeben ist), dann ist π bijektiv ? oder bin ich jetzt komplett lost ? :') bei \(h\) könnte ich ja die bijektivität zeigen, und wenn ich weiss, dass \(h\) und π bijektiv , kann ich per Umweg auch zeigen, dass \(f\) bijektiv sein muss. Somit wäre das Quadrat kommutativ ?
─ bünzli 09.03.2021 um 20:07
Ich habe nun etwas über die Quotientenabbildungen gelesen, habe ich das richtig verstanden, dass wenn \(f\): \(V\) \(\to\) \(V\) surjektiv (was mit einem endomorphismus ja gegeben ist), dann ist π bijektiv ? oder bin ich jetzt komplett lost ? :') bei \(h\) könnte ich ja die bijektivität zeigen, und wenn ich weiss, dass \(h\) und π bijektiv , kann ich per Umweg auch zeigen, dass \(f\) bijektiv sein muss. Somit wäre das Quadrat kommutativ ?
─ bünzli 09.03.2021 um 20:07
am einfachsten ist es hier, die kommutativität mithilfe der definierenden eigenschaft zu zeigen (also \(\pi ( f (x)) = h(\pi(x))\)).
Die erste idee war schon gut - \(f\) kannst du auf kanonische weise auf \(V/U\) definieren. Der rest sollte dadurch eigentlich nur noch eine rechnung sein, startend mit \(x \in V\) und dann schauen was je nach weg passiert. ─ b_schaub 09.03.2021 um 20:32
Die erste idee war schon gut - \(f\) kannst du auf kanonische weise auf \(V/U\) definieren. Der rest sollte dadurch eigentlich nur noch eine rechnung sein, startend mit \(x \in V\) und dann schauen was je nach weg passiert. ─ b_schaub 09.03.2021 um 20:32
ok super, danke dir vielmals für die Mühe! Ich verstehe nun was gemeint ist : )
─
bünzli
09.03.2021 um 21:41
─ bünzli 09.03.2021 um 16:21