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Ich beschäftige mich derzeit mit algebraischen Strukturen und in dem Skript mit dem ich arbeite wurde der 1. Isomorphiesatz (für Gruppen) gerade eingeführt. Als Beispiel dafür ist folgendes angebracht:
\(\varphi:GL(n,K)\rightarrow K^*, A\mapsto \det A\)
Hieraus wird entnommen, dass \(\varphi\) ein Epimorphismus ist (klar für mich) und dass \(\ker\varphi=SL(n,K)\) (so ist die spezielle lineare Gruppe ja definiert). Aufgrund des Isomorhpiesatztes gilt nun:
\(GL(n,K)/SL(n,K)\cong K^*\)
Das das so ist verstehe ich, aber was bringt diese Isomorphie? Das Beispiel wird ja sicherlich einen Grund haben, warum es gewählt wurde und wird dann ja auch eine Anwendung haben, leider kann ich mir diese nicht so ganz vorstellen, ich verstehe zwar was ein Faktorraum ist (zumindest die Definition dessen), aber kann mir nichts wirklich unter \(GL(n,K)/SL(n,K)\) vorstellen, vielleicht kann da ja jemand weiter helfen.
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Am wichtigsten bei diese Thema ist die sogenannte universelle Eigenschaft des Quotienten. Wenn du so noch nie gehört hast, steht sie wahrscheinlich in deinem Buch als Homomorphiesatz. Sie heißt deswegen universell, weil sie alles beinhaltet über Quotienten und ihn bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Das was du meinst, wie du dir den Quotienten vorstellst (Nebenklassen) kann man dann auch nur als Beweis der Existenz des Quotienten für Gruppen ansehen. Nun zu den Elementen von diesem speziellen Quotienten: in jeder Nebenklasse sind alle invertierbaren Matrizen,  die die selbe Determinante haben, gar nicht so schwer,  oder? Wenn du dich mehr auf die universelle Eigenschaft konzentriert hättest, als auf die Konstruktion des Quotienten, wäre das sofort klar (den Fehler machen aber die meisten). Das wichtige Konzept hierbei ist, dass bei einem Homorphismus Elemente mit dem selben Bild sich nur um ein Element im Kern unterscheiden und wir teilen den Kern einfach raus (mehr oder weniger ist das schon universelle Eigenschaft)
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