Am wichtigsten bei diese Thema ist die sogenannte universelle Eigenschaft des Quotienten. Wenn du so noch nie gehört hast, steht sie wahrscheinlich in deinem Buch als Homomorphiesatz. Sie heißt deswegen universell, weil sie alles beinhaltet über Quotienten und ihn bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Das was du meinst, wie du dir den Quotienten vorstellst (Nebenklassen) kann man dann auch nur als Beweis der Existenz des Quotienten für Gruppen ansehen. Nun zu den Elementen von diesem speziellen Quotienten: in jeder Nebenklasse sind alle invertierbaren Matrizen,  die die selbe Determinante haben, gar nicht so schwer,  oder? Wenn du dich mehr auf die universelle Eigenschaft konzentriert hättest, als auf die Konstruktion des Quotienten, wäre das sofort klar (den Fehler machen aber die meisten). Das wichtige Konzept hierbei ist, dass bei einem Homorphismus Elemente mit dem selben Bild sich nur um ein Element im Kern unterscheiden und wir teilen den Kern einfach raus (mehr oder weniger ist das schon universelle Eigenschaft)