Körperaxiome und Bruchrechenregeln

Erste Frage Aufrufe: 504     Aktiv: 13.10.2021 um 08:45
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F sei ein Körper mit den Operationen + und * mit den neutralen Elementen 0 bzw. 1.
Für alle a,b ∈ F, b≠0 definieren wir a/b := a * b^(-1)

Das bedeutet: Bei dem Bruch handelt es sich sich lediglich um eine Schreibweise, da es nicht von vorneherein klar ist, ob a/b = a * b^(-1) gilt.


Zeigen Sie nun, lediglich unter Verwendung der Körperaxiome, dass folgende "allgemeine Bruchrechenregeln" gelten:

a/b=0 => a=0

Das ist mal die erste Regel die bewiesen werden soll. Komme leider auf keine sinnvolle Herangehensweise, denke vielleicht auch zu kompliziert...
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Punkte: 10

 
Ehrlich gesagt, war das sinnvollste mit dem Satz vom Nullprodukt zu argumentieren. Aber genau das scheint hier nicht gefragt zu sein. Hatte ansonsten nur Ansätze, die sich m.E. von der Argumentation her im Kreis gedreht haben.   ─   user2c1030 12.10.2021 um 21:08
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1 Antwort
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Du könntest damit anfangen beide Seiten mit \(b\) zu multiplizieren. Was steht jetzt links und was ist das genau?
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Student, Punkte: 10.87K

 
Das \(0\cdot b =0\) gilt erfordert doch einen Beweis!   ─   mathejean 12.10.2021 um 21:20
Ach hier liegt ein Missverständnis vor, ich verbessere   ─   mathejean 12.10.2021 um 21:23
Naja dann hab ich a=0 aber das kann doch nicht die Lösung sein?   ─   user2c1030 12.10.2021 um 21:29
Dann wäre die Frage so doch nicht gestellt, oder?   ─   user2c1030 12.10.2021 um 21:30
Dass in der Aufgabe steht, b≠0 ist was mich stutzig macht. Vielleicht einfach die Umformung zu a=0 noch untermauern mit 0+0=0 <=> a(0+0)=a(0) ? Dann hätte man die Axiome vom neutralen additiven Element und von der Distributivität noch eingebaut...   ─   user2c1030 12.10.2021 um 21:56
Ach nein, das passt auch wieder nicht...   ─   user2c1030 12.10.2021 um 22:17
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Sehr ausführlich: Um zu zeigen, dass \(0\cdot b=0\) gilt, musst du irgendwie zeigen, dass \(0\cdot b\) neutral bezüglich der Addition ist, jetzt hast du hier allerdings nur eine multiplikative Verknüpfung, wie du jedoch richtig vermutest, kannst du mit dem Distributivgesetz arbeiten, hierzu musst du allerdings verwenden, dass \(0\) neutral, du erhälst also (sehr ähnlich zu deiner Skizze)$$0\cdot b =(0+0)\cdot b$$Jetzt brauchst du nur noch einen (oder auch zwei) Schritte, um zu zeigen, dass \(0\cdot b=0\) gilt.   ─   mathejean 13.10.2021 um 08:45

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