Punktsymmetrie Polynomfunktion 3. Grades

Erste Frage Aufrufe: 22     Aktiv: 07.04.2021 um 17:53

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Wie Beweise ich das eine Ploynomfunktion 3. Grades immer punktsymmetrisch ist?
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\(f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\). Berechne nun \(f(-x\) und \(-f(x)\) und vergleiche!
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Das ist zu einfach, eine kubische Funktion ist nicht immer punktsymmetrisch zum Ursprung, man muss hier zunächst den Wendepunkt berechnen und diesen dann auf Punktsymmetrie untersuchen   ─   mathejean 07.04.2021 um 17:38

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Zuerst musst du dir überlegen,  dass ein Polynom dritten Gerades  punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist. Hierzu stellst du zunächst das allgemeine Polynom \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(a\not =0\) auf und leitest es ab. Es gilt \(p'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(p''(x)=6ax+2b\) und \(p'''(x)=6a\not =0\). Hieraus folgt unmittelbar die Wendestelle \(x_W=-\frac {b}{3a}\) . Nun musst du nur noch die Bedingung für Punktsymmetrie überprüfen: $$p(x_W+x) -p(x_W)=-p(x_W-x)+p(x_W)$$Kommst du damit weiter?
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