Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

Aufrufe: 688     Aktiv: 22.06.2020 um 23:24

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Teilaufgabe 1/2/3 stellen kein Problem dar. Allerdings komme ich nicht auf die Endlösung z(x,y) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung. Kann mir hier bitte jemand weiter helfen?

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Ich bekomme \(v_s+v=0\), also \(v(s,t)=c(t)\, e^{-s}\), also

\(z(x,y) = c(4x-y)\, e^{-\frac{x}y}\).

Die Bedingung \(z(x,1)=1\) führt auf \(c(4x-1)=1\) für alle \(x\).

Das ist aber nur möglich, wenn \(c\equiv 1\) konstant ist. (Falls nötig: wenn man die Gleichung \(c(4x-1)=1\) für alle \(x\) ableitet nach \(x\), erhält man \(4\,c'(4x-1)=0\), also \(c'=0\), also \(c=const\)). 

Endergebnis: \( z(x,y) = e^{-\frac{x}y}\).

Probe zeigt, dass sowohl die pDGL als auch die Anfangsbedingung dafür erfüllt ist.

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