DGL n Ordnung Substitution der Unabhängigen Variable

Erste Frage Aufrufe: 75     Aktiv: 01.07.2021 um 16:48

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Hallo Zusammen. Kann mir jemand erklären wie die Substitution hier funktioniert. Irgendwie steh ich einfach auf dem Schlauch.

(1+x²) y"  - xy´ + y = x                      vorgegebene Substitution: x= sin(t)

hieraus folgt:

(1 + sin(t)²)*y´´     -     sin(t)y´     +     y = sin(t)

und hier kommt jetzt mein Problem
y´ = dy/dx = dy/dt * dt/dy               || dy/dt  ist ja nichts anderes als y(t)`  also y punkt aber was ist mein y?

Beziehungsweise kann mir jemand diese Aussage erklären?

Lösungen habe ich aber ich komm einfach nie auf die Lösung.

SG und schon mal Danke sehr

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Die Verwirrung bei solchen Gleichungen kommt, weil üblicherweise Variablen nicht hingeschrieben werden. Das ist aber bei Substitutionen ungut.
Dann lautet die Dgl ausführlich:
\((1+x^2)\,y''(x) + x\cdot y'(x) +y(x) = x\).
Die Substitution \(x=\sin t\) bedeutet, dass wir nun die Dgl umschreiben auf die neue unbekannte Funktion \(u(t):=y(\sin t)\). Es muss dann die gesamte Dgl umgeschrieben werden in die neue unbekannte \(u(t)\). Und dabei nicht das \(t\) bzw. \(x\) weglassen, sonst gibt es durcheinander.
Also erstmal \(u'(t)\) und \(u''(t)\) berechnen (Kettenregel!), natürlich wie immer beim Rechnen mit \(\sin\) und \(\cos\) stets \(\sin^2 t + \cos^2t =1\) im Kopf haben und damit dann die gesamte Dgl umschreiben, so dass nur noch \(u(t), u'(t), u''(t), t\) drin vorkommen, keine \(y\) und keine \(x\) mehr. Die Hoffnung ist, dass diese neue Dgl leichter zu lösen ist die ursprüngliche.
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Vielen Dank,

Ja da hat sich wirklich ein Fehler eingeschlichen.

(1 + sin(t)²)*y´´ - sin(t)y´ + y = sin(t) vorgegebene Substitution: x= sin(t)

Das heißt wenn ich das richtig verstehe, ich leite ich die Substitution ab. Dann ergibt sich aber ein neues Problem

y` = y° * cos^-1(t)


y´´ = d [y° * cos^-1(t)] / dt * [1/ (dx/dt)]
=>
y´´ = [y°° * cos^-1(t) + y° * (-2) * (cos^-2(t) *-sin (t)] * [dt / dx]
=>
y´´ = [y°° * cos^-1(t) + y° * (2) * (cos^-2(t) *sin (t)]] * [cos^-1(t)]

=> y´´ = y°° * cos^-2(t) + y° * (2) * (cos^-3(t) *sin (t)

und dann einfügen aber noch eine Frage, laut Lösung verschwindet die 2 des zweiten Terms wo habe ich jetzt den Fehler gemacht?

Vielen Dank. SG
  ─   sysdown 01.07.2021 um 12:52

Wie schon gesagt, halte ich die Einführung einer neuen Funktion für gefahrloser. Du verwendest zweimal die Funktion y in versch. Bedeutung. Das kann man machen, wenn man sonst keine Probleme hat und sehr geübt ist. Ich selbst tue das nicht.
Ich sehe keinen Fehler. Beim Einfügen in die Dgl stehen ja noch weitere Umformungen an. Lade doch mal die Lösung hier hoch.
  ─   mikn 01.07.2021 um 13:32

Kann es sein, dass da noch ein Tippfehler ist und die Substitution x=sinh(t) lauten sollte? Bin relativ sicher. Dann lautet die transformierte Dgl nämlich u''(t)+u(t)=sinh(t).
Und beim Herleiten leite die Substitution ab, die lautet u(t)=y(sinh(t) und stelle nicht(!) um. Sonst wird's komplizierter.
  ─   mikn 01.07.2021 um 13:50

Der letzte Term stimmt meiner meinung nach weil cos^-1 * cos^-1 = cos ^-2

Wenn ich noch rausfinde wie man bilder hochlädt poste ich gerne die lösung.
  ─   sysdown 01.07.2021 um 13:53

Achso, ja, hatte den Faktor am Ende der Klammer übersehen (ich weiß, warum ich gerade nicht so vorgehe wie Du).   ─   mikn 01.07.2021 um 13:56

Nein die substitution die von unserem Dozenten vorgegeben wird ist x= sin(t)

Nach dem einsetzten sollte sich jede menge rauskürzen.
Und die funktion wird relativ simple. Glaub mit lösung erklärt es sich am einfachsten.
  ─   sysdown 01.07.2021 um 14:03

Dann bin ich auf die Lösung gespannt. Bin relativ sicher, dass entweder die Dgl noch nicht stimmt oder die Substitution. Wenn hier Bilder hochladen nicht geht (Frage bearbeiten, icon links benutzen (glaub ich)), dann über eine externe URL (machen andere so, z.B. imgur.com, google drive, o.ä.).   ─   mikn 01.07.2021 um 14:09

So hab es hochgeladen, aber wie gesagt der 2er stört mich irgendwo noch   ─   sysdown 01.07.2021 um 14:16

Hab ja gesagt, da stimmt was nicht. Die Dgl hat an zwei Stellen andere Vorzeichen.... . Dann wird's natürlich schwierig...
Damit passt dann auch alles und führt auf u''+u=sin(t).
  ─   mikn 01.07.2021 um 14:24

So, finale Aufklärung. In Deiner 2.Abl. mit der Produktregel ist der Faktor (-2) nicht richtig, da muss (-1) stehen (denn \((\frac1x)'=\frac{-1}{x^2}\). Ist meiner Meinung nach eine Folge der unübersichtlichen Rechnerei mit diesem ganzen unnötigen 1/...-Kram.
Danke für die nette Bewertung. Trotzdem noch zur Info, wie ich rechnen würde:
\(u(t)=y(\sin t) \Longrightarrow u'(t)=y'(\sin t)\cos t \Longrightarrow u''(t)=y''(\sin t)\cos^2 t -y'(\sin t)\sin t = y''(x)(1-x^2)-y'(x)\,x\).
Damit wird die Dgl zu \(u''(t) +y(x)=x\), also \(u''(t)+u(t)=\sin t\), ganz ohne Kram im Nenner. Entscheide selbst, was einfacher ist.
Zur Übung kannst ja die Dgl \((1+x^2)y''+xy'+y=x\) mit der Substitution \(x=\sinh t\) mal transformieren.
  ─   mikn 01.07.2021 um 14:52

Vielen lieben Dank.

Ja so klingt es wesentlich einfacher.
  ─   sysdown 01.07.2021 um 16:48

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