Die Verwirrung bei solchen Gleichungen kommt, weil üblicherweise Variablen nicht hingeschrieben werden. Das ist aber bei Substitutionen ungut.
Dann lautet die Dgl ausführlich:
\((1+x^2)\,y''(x) + x\cdot y'(x) +y(x) = x\).
Die Substitution \(x=\sin t\) bedeutet, dass wir nun die Dgl umschreiben auf die neue unbekannte Funktion \(u(t):=y(\sin t)\). Es muss dann die gesamte Dgl umgeschrieben werden in die neue unbekannte \(u(t)\). Und dabei nicht das \(t\) bzw. \(x\) weglassen, sonst gibt es durcheinander.
Also erstmal \(u'(t)\) und \(u''(t)\) berechnen (Kettenregel!), natürlich wie immer beim Rechnen mit \(\sin\) und \(\cos\) stets \(\sin^2 t + \cos^2t =1\) im Kopf haben und damit dann die gesamte Dgl umschreiben, so dass nur noch \(u(t), u'(t), u''(t), t\) drin vorkommen, keine \(y\) und keine \(x\) mehr. Die Hoffnung ist, dass diese neue Dgl leichter zu lösen ist die ursprüngliche.