\(\phi_n\) ordnet einer Funktion \(f\) den(!) (nicht: einen!) Spline zu, nämlich den, der \(f\) an den Stellen \(x_i\) interpoliert, kubisch ist (d.h. stückweise Polynome vom Grad \(\le 3\)) und vollständige Randbedingungen erfüllt.

Mach Dir den Funktionsbegriff nochmal klar: Eine Funktion bildet etwas ab auf was anderes. Input->Output. Damit eine Funktion wohldefiniert ist (d.h. damit sie überhaupt sich "Funktion" nennen darf), muss der Bildwert eindeutig definiert sein. Das ist wichtig, wenn man die Funktion mit Worten (wie hier) beschreibt. Wenn man sagt f(x)=5x+3, dann stellt sich die Frage nicht.

Die Funktion \(Q\) ist auch mit Worten beschrieben: Input \(g\) -> zweimal integrieren gibt ein f (Achtung: f ist nicht eindeutig!!) -> Output \((\phi_n f)''\) und in der kleinen Rechnung ist erklärt, warum \(Qg\) eindeutig ist, obwohl das Zwischenergebnis \(f\) nicht eindeutig ist.