Berechnung der vollständigen kubischen Splininterpolation

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Kann mir jemand auf die Sprünge helfen was ich unter diesen beiden Abbildungen zu verstehen habe?

gefragt 1 Monat, 3 Wochen her
finn2000
Student, Punkte: 156

 
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1 Antwort
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\(\phi_n\) ordnet einer Funktion \(f\) den(!) (nicht: einen!) Spline zu, nämlich den, der \(f\) an den Stellen \(x_i\) interpoliert, kubisch ist (d.h. stückweise Polynome vom Grad \(\le 3\)) und vollständige Randbedingungen erfüllt.

Mach Dir den Funktionsbegriff nochmal klar: Eine Funktion bildet etwas ab auf was anderes. Input->Output. Damit eine Funktion wohldefiniert ist (d.h. damit sie überhaupt sich "Funktion" nennen darf), muss der Bildwert eindeutig definiert sein. Das ist wichtig, wenn man die Funktion mit Worten (wie hier) beschreibt. Wenn man sagt f(x)=5x+3, dann stellt sich die Frage nicht.

Die Funktion \(Q\) ist auch mit Worten beschrieben: Input \(g\) -> zweimal integrieren gibt ein f (Achtung: f ist nicht eindeutig!!) -> Output \((\phi_n f)''\) und in der kleinen Rechnung ist erklärt, warum \(Qg\) eindeutig ist, obwohl das Zwischenergebnis \(f\) nicht eindeutig ist.

 

 

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 9.9K
 

Danke ist hierbei f mit phi verknüpft oder multipliziert.   ─   finn2000 1 Monat, 3 Wochen her

Nochmal: Funktionsbegriff klären. Eine Funktion ist was anderes als ein Funktionswert. Wie soll man diese Funktion mit etwas multiplizieren?! Du hast aber insofern recht, als dass die Schreibweise in der Aufgabe nicht gut ist. Oben steht \(\phi_n(f)\), so soll es sein. Unten steht \(\phi_nf\), aber da ist auch \(\phi_n(f)\) gemeint und sollte eigentlich da auch stehen. Für Neulinge ist das verwirrend.
Und ein Zwischenschritt ist nicht erwähnt: \(\phi_n(f_1)=\phi_n(f_2+\alpha x+\beta)=\phi_n(f_2)+\phi_n(\alpha x+\beta)=\phi_n(f_2)+\alpha x+\beta\).
Und hier wird zu einer Funktion \(f_2\) ein Term mit x addiert, das ist auch nicht sauber. Sauber wäre es, vorher \(g(x):=\alpha x+\beta\) zu definieren und dann \(f_1=f_2+g\) zu betrachten.
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

ja danke   ─   finn2000 1 Monat, 2 Wochen her
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