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Metrische Räume sind normal. Beweis: Seien \(A_1,A_2\subseteq X\) abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des metrischen Raumes \(X\). Sei \[U:=\bigcup_{x\in A_1}B_{\mathrm{dist}(x,A_2)/2}(x)\] (\(B\) sind hier offene Kugeln). Dann ist \(U\) offen. Es gilt \(\overline{U}\cap A_2=\varnothing\) (Beweis durch Widerspruch!) Setze \(V:=X\setminus\overline{U}\). Dann sind \(U,V\) disjunkte offene Umgebungen von \(A_1\) und \(A_2\).
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slanack
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Genau. \(\mathrm{dist}(x,A_2):=\inf_{y\in A_2}d(x,y)\) ist die Distanz von \(x\) zu \(A_2\). Es gilt: \(\mathrm{dist}(x,A_2)=0\) genau dann, wenn \(x\in A_2\) liegt (weil \(A_2\) abgeschlossen ist).
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slanack
30.04.2021 um 15:21
Was genau bedeutet dieses dist ?
Der halbe Abstand von x zu A2? ─ katharinawagner 30.04.2021 um 15:05