Beispiele für einen normalen Raum

Aufrufe: 30     Aktiv: 30.04.2021 um 15:22

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ich bin auf der Suche nach einen Beispiel eines normalen Raumes und die Begründung, wieso dieser Raum normal ist :)

normaler raum: punktfremde abgeschlossene Mengen lassen sich durch offene Mengen trennen

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Student, Punkte: 18

 

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1 Antwort
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Metrische Räume sind normal. Beweis: Seien \(A_1,A_2\subseteq X\) abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des metrischen Raumes \(X\). Sei \[U:=\bigcup_{x\in A_1}B_{\mathrm{dist}(x,A_2)/2}(x)\] (\(B\) sind hier offene Kugeln). Dann ist \(U\) offen. Es gilt \(\overline{U}\cap A_2=\varnothing\) (Beweis durch Widerspruch!) Setze \(V:=X\setminus\overline{U}\). Dann sind \(U,V\) disjunkte offene Umgebungen von \(A_1\) und \(A_2\).

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Hier wird epsilon gewählt als dist(x,A2)/2
Was genau bedeutet dieses dist ?
Der halbe Abstand von x zu A2?
  ─   katharinawagner 30.04.2021 um 15:05

Genau. \(\mathrm{dist}(x,A_2):=\inf_{y\in A_2}d(x,y)\) ist die Distanz von \(x\) zu \(A_2\). Es gilt: \(\mathrm{dist}(x,A_2)=0\) genau dann, wenn \(x\in A_2\) liegt (weil \(A_2\) abgeschlossen ist).   ─   slanack 30.04.2021 um 15:21

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