Integral Ungleichung (linearer Operator)

Aufrufe: 48     Aktiv: 30.04.2021 um 16:17

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Bei der b) komme ich leider nicht weiter, ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen! Meine Rechnung ist unten angeführt: 
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Verwende als nächstes \( |f(t)| \leq \Vert f \Vert_\infty \forall t \in \mathbb{R} \). Beachte, dass \( \Vert f \Vert_\infty \) nicht von \(t\) anhängig ist. Damit kannst du diese Konstante vor das Integral schreiben. Als nächstes rechne \( \int_{-\pi}^\pi | \cos (t) | dt \) einfach aus.
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wenn ich das integral aber berechne kommt nicht 1 raus wegen dem Betrag..   ─   anonym.opals 30.04.2021 um 00:53

Das Integral lässt sich in Segmente zerteilen, wo cos(t)< 0 und wo cos (t) > 0. Innerhalb dieser Segmente kannst du die Betragsstriche wegnehmen (eventuell mit einem - vor dem cos).
Wenn du das Integral richtig berechnest kommt da \( \int_{-\pi}^\pi |cos(t)| dt = 2\pi \) heraus.
  ─   cunni 30.04.2021 um 01:01

also ich komme auf 4 nicht auf 2 pi. Wie soll man überhaupt auf einen Wert mit pi kommen, wenn Sinus bei pi und pi/2 die Werte 1 oder 0 (oder-1 usw.) annimmt?   ─   anonym.opals 30.04.2021 um 14:27

Du hast Recht. Da kommt 4 raus. Aber das macht ja nichts, schließlich erhalten wir dann
\[ |a_1(f)| \leq \frac{1}{\pi} \Vert f \Vert_\infty \int_{-\pi}^\pi |\cos(t)| dt = \frac{4}{\pi} \Vert f \Vert_\infty \leq 2 \Vert f \Vert_\infty, \]
denn \(\Vert f \Vert_\infty \geq 0\) und \( \frac{4}{\pi} = 1,273\ldots < 2 \)
  ─   cunni 30.04.2021 um 15:04

achso dann schätzt man 4/pi dann nach oben mit 2 ab oke ja habs verstanden danke:)   ─   anonym.opals 30.04.2021 um 15:55

Ist mir auch eben erst aufgefallen, als ich das Integral nachgerechnet habe, dass ich das tun muss.   ─   cunni 30.04.2021 um 16:17

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