Wir haben

$$ \sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$
Die binomische Formel lautet 

$$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$$

Naja, und eine Gleichung der Form 

$$ (x-a)^2=z $$
für ein positives $z$ kann man denke ich ganz gut von Hand lösen.

Quadratische Ergänzung heißt einen Ausdruck zu einem Quadrat ergänzen. Letzteres kommt aus einer binomischen Formel.
Du hast: $x^2 - \sqrt{8}\,x - 7$. Schreib dadrunter $x^2-2ax+a^2$ und vergleiche. Was ist dann Dein $a$? Wenn Du $a$ hast, dann schreib damit:
$x^2 - \sqrt{8}\,x - 7 = x^2-2ax+a^2-a^2-7=(x-a)^2-a^2-7$.
Fasse nach Rechenregeln zusammen.
In Deiner Frage sprichst Du von einer Gleichung, die ist aber nirgendwo zu sehen. Prüfe also nochmal die Aufgabe genau.
Wenn Du eine Gleichung hast, rechne entsprechend weiter (Wurzel ziehen, umstellen).