Verständnis Exponentialfunktion, Euler

Aufrufe: 831     Aktiv: 25.05.2021 um 23:33
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Ich habe gerade die Aufgabe gelöst zu zeigen, dass \( \sin(z) = \frac{1}{2i}(exp(iz)-exp(-iz)) \) gilt. Hat auch gut geklappt. Dabei hat mein Kommilitone mich gefragt, was es eigentlich mit diesem "e hoch die imaginäre Einheit oder z auf sich hat oder hoch i und ein Winkel phi". Das konnte ich ihm nicht beantworten und habe gemerkt, dass mir das "große Bild" fehlt. Mir ist nicht ganz klar, was es bedeutet, dass man ein "iz" in die Exponentalfunktion steckt bzw. \( e^{iz} \) rechnet.

Was ich weiß: Ich weiß, dass man auf dem Einheitskreis eine beliebige komplexe Zahl z schreiben kann als \( \cos(\varphi) + \sin(\varphi)\cdot i \), weil das die jeweiligen x und y Werte auf dem Real- bzw Imaginärteil sind. Ich verstehe sogar, wie man "die schönste Formel der Welt" herleitet (hab ich von dieser Dame gelernt).
Was ich nicht verstehe:
Aber was es bedeutet, dass man \( e^z \) oder \( e^{i\varphi} \) rechnet, verstehe ich kein bisschen.
Mir ist klar, dass das ein weites Feld ist, aber ich denke, ich würde es verstehen, wenn ihr mir den Zusammenhang aufzeigt oder auch ein gutes Video empfieht. Ich hab das hier, das hier und das hier geschaut, aber leider konnte ich meinem Kommilitonen trotzdem keine Antwort geben.
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Ich hätte dir tatsächlich auch das letzte Video von 3blue1brown empfohlen. Wichtig ist zu verstehen, dass \(e^i\) hier nicht im Sinne von Exponenten gemeint ist, sondern als Funktion, die sich als Potenzreihe schreiben lässt.
Deswegen auch \(exp(i) =\sum_n \dfrac{i^n}{n!}\)   ─   math stories 20.05.2021 um 22:21
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Ich hab keine Ahnung, wieso ich trotz deines Kommentars keine Benachrichtigung bekommen hab, aber ich habs jetzt endlich verstanden.
Klingt unglaublich, aber obwohl ich das "wusste", was du geschrieben hast, war mir die Tragweite dessen nie bewusst. Ich habe es eben mal mit 5 probiert:
$$E(5) = E(1+1+1+1+1)=E(1)^5=e^5$$
Hier könnte man meinen, man rechne 5 mal e, aber das ist irreführend. Man steckt die 5 viel eher in die Reihendarstellung. Also:
$$E(5)=\sum_{n=0}^\infty \frac{5^n}{n!}=1+5+\frac{25}{2}+\frac{125}{6}+\frac{625}{24}+...$$
Und wie man zeigen kann, konvergiert das gegen eben dieses \( e^5 \approx 148,41 \). Genial. Vielen Dank, das hat mir wirklich sehr geholfen.   ─   akimboslice 25.05.2021 um 21:33
Cool, freut mich dein "Aha-Moment" - das sind die wertvollsten ✌😎   ─   math stories 25.05.2021 um 21:48
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Falls dich diese Videos und der Kommentar von Math Stories noch nicht zum Verständnis geführt haben, dann versuch vielleicht nochmal deine Frage etwas zu spezifizieren. Denn ich denke auch, dass das Video von 3blue1brown es schon sehr gut und anschaulich erklärt, aber vielleicht fehlt dir noch ein kleines Puzzlestück um es ganz zu verstehen. Was verstehst du denn bis jetzt unter \( e^{i \varphi} \)? Du hast den Bezug zum Einheitskreis verstanden, kannst du das dann übertragen auf \( e^z \)? Vielleicht noch eine Ergänzung (ich weiß nicht ob es in einem der Videos vorkommt) zum Unterschied zwischen reellwertigen Funktionen und komplexwertigen Funktionen. Bei reellwertigen Funktion bilden wir einen \(x\)-Wert ab und erhalten einen \( y\)-Wert. Wir setzen also zwei Koordinaten in Bezug. Daraus lässt sich geometrisch sowas wie ein Graph konstruieren. Bei komplexwertigen Funktionen setzen wir einen ganzen Punkt ein. Wir erhalten also keinen Zusammenhang mehr zwischen den Koordinaten des Punktes, weil beide Koordinaten mit in die Funktion fließen. Was wir hier haben, ist eine Zuordnung von einem Punkt zu einem anderen Punkt. Punkt werde also durch komplexwertige Funktionen verschoben, gedreht, ... Würden wir hier sowas wie einen "Graphen" konstruieren wollen, hätten wir eher ein Richtungsfeld. Dazu vielleicht auch nochmal ein Video von 3blue1brown: https://www.youtube.com/watch?v=v0YEaeIClKY In diesem Video visualisiert er mehr. Finde ich sehr hilfreich, weil man sich das ganze eben geometrisch überlegen kann. Grüße Christian
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Ich hab leider erst jetzt bei dir eine Benachrichtigung bekommen und erst jetzt auch den Kommentar von Math Stories gelesen. Sein Kommentar hat bei mir den entscheidenden Denkanstoß gegeben. Ich hab den Anfang des Videos von 3Blue1Brown, das ich eingangs verlinkt habe, nie "ernst genommen". Da zeigt er eig genau das, aber ich dachte, das sei mehr eine Spielerei. So kann man sich irren...   ─   akimboslice 25.05.2021 um 21:35
Ist doch schön dass du es jetzt verinnerlicht hast. Die wenigsten haben das. Das wird dir sehr weiterhelfen :) Freut mich!   ─   christian_strack 25.05.2021 um 23:33

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