Vektorenaufgabe

Aufrufe: 777     Aktiv: 25.01.2020 um 09:44
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Es sei a`= (3, 1) und b´= (−1, 2).

ii. Sei λ ∈ [0, 1]. Welche Punktmenge durchläuft dann x = λa + (1 − λ)b?

iii. Zeigen Sie: Wenn in λ ∈ R, dann durchläuft x die gesamte Gerade durch die Punkte (3, 1) und (−1, 2).

 

Lösung:

Die Punktemenge ist die Verbindungsgerade zwischen den beiden Vektoren a und b. Da gilt λa + (1 − λ)b = [ 4λ − 1]
                              [  2 − λ] (das soll der Vektor sein.)

Die Gerade durch die Punkte hat die Formel y = 7/4 − (1/4*x). Um zu sehen, dass alle Punkte auf dieser Gerade liegen, setzt man (4λ − 1) als x und bekommt (2 − λ). Mit λ ∈ [0, 1] ergibt dies die Gerade zwischen den Punkten gegeben durch die Vektoren. 

Wie kommt man dann auf den Vektor  [ 4λ − 1   2 − λ ]? 

Ich weiß, wie man die Funktionsgerade ermittelt aber wie kommt man auf den Vektor? Und muss der Definitionsbereich der Gerade nicht begrenzt sein, da λ auch begrenzt ist?

Danke im Vorraus.

 

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Hallo,

ii) stimmt. 

zur iii) würde ich folgendermaßen vorgehen

$$ \begin{array}{ccc} x & = & \lambda a + (1- \lambda )b \\ & = & \lambda a + b - \lambda b \\ & = & b + \lambda (a-b) \end{array} $$

Damit hast du bereits die Parameterdarstellung einer Gerade durch die Punkte \( A \) und \( B \), mit \( b \) als Ortsvektor.

Grüße Christian

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Hallo,

das verstehe ich aber was bringt mir die Parameterform der Gerade für Aufgabe iii). Und wie ist man auf [ 4λ − 1 2 − λ ] (transportierte Form) gekommen?   ─   itsmeagain 23.01.2020 um 15:51
$$ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + ( 1- \lambda) \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\lambda \\ 1\lambda \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1( 1- \lambda) \\ 2( 1- \lambda) \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 3\lambda \\ 1\lambda \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1+ \lambda \\ 2 - 2\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \lambda + \lambda -1 \\ \lambda -2 \lambda + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \lambda -1 \\ -\lambda + 2 \end{pmatrix} $$

zur iii) Die Parameterform

$$ x = b + \lambda (b-a) $$

beschreibt ja die Gerade zwischen den Punkte \( b \) und \( a \).

Falls ihr diese in der Vorlesung noch nicht behandelt habt, muss man gegebenenfalls noch beschreiben, warum diese Form die Geraden zwischen den Punkten beschreibt.   ─   christian_strack 23.01.2020 um 18:47
Ich glaube, ich habe erst jetzt die Aufgabenstellung richtig verstanden.
Sie wollten, dass ich zeige, dass x (also vom Ursprung gezeichnet) an jeden Punkt der Gerade bzw. Funktion , den ich durch die Punkte b und a ermittelt habe, rangeht.
Also graphisch betrachtet: Die Linien, die ich auf dem hinzugefügten Bild in der Frage gezeichnet habe.   ─   itsmeagain 23.01.2020 um 20:10
Ja genau :)   ─   christian_strack 24.01.2020 um 13:31

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