(Twitter)
0
Ja, die Aussage ist richtig.
Der Beweis geht so:
Das Ergebnis der Polynomdivision "z(x):(x-a)" besteht laut Wikipedia aus zwei Polynomen s(x) und r(x), so dass
z(x)=s(x)(x−a)+r(x)
wobei der Grad von r(x) kleiner ist als der Grad von (x-a). Also ist r(x) eine Konstante: r(x)=c.
Es folgt z(x)=s(x)(x−a)+c (1)
c ist der Rest der Polynomdivision.
Aus Gl. (1) lässt sich der Beweis wie folgt führen:
Hinrichtung: Die Polynomdivision "z(x):(x-a)" hat keinen Rest.
Dann ist c=0. Wegen (1) folgt: z(a)=s(a)(a−a)=0.
Also ist a Nullstelle von z.
Rückrichtung: a ist Nullstelle von z. Wegen (1) ist dann 0=s(a)(a−a)+c=s(a)⋅0+c. Also ist c=0.
Also hat die Polynomdivision keinen Rest.
Der Beweis geht so:
Das Ergebnis der Polynomdivision "z(x):(x-a)" besteht laut Wikipedia aus zwei Polynomen s(x) und r(x), so dass
z(x)=s(x)(x−a)+r(x)
wobei der Grad von r(x) kleiner ist als der Grad von (x-a). Also ist r(x) eine Konstante: r(x)=c.
Es folgt z(x)=s(x)(x−a)+c (1)
c ist der Rest der Polynomdivision.
Aus Gl. (1) lässt sich der Beweis wie folgt führen:
Hinrichtung: Die Polynomdivision "z(x):(x-a)" hat keinen Rest.
Dann ist c=0. Wegen (1) folgt: z(a)=s(a)(a−a)=0.
Also ist a Nullstelle von z.
Rückrichtung: a ist Nullstelle von z. Wegen (1) ist dann 0=s(a)(a−a)+c=s(a)⋅0+c. Also ist c=0.
Also hat die Polynomdivision keinen Rest.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
m.simon.539
Punkte: 2.62K
Punkte: 2.62K
Könntest du mir den Teil noch erläutern, der sich für dich „leicht folgern“ lässt bitte?
─
handfeger0
08.12.2023 um 08:19
Habe den Rest des Beweises ergänzt.
─
m.simon.539
08.12.2023 um 20:18
z(x)=(x-a)*(s(x)+r_1(x))
Dabei ist r_1(x)=r(x)/(x-a) .
r(x) aus deiner Gleichung ist demnach der Term, der zum Abbruch der Polynomdivision führt. Und der muss konstant sein, da der Grad vom Divisor 1 ist? ─ handfeger0 08.12.2023 um 08:16