(Twitter)
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Ja, die Aussage ist richtig.
Der Beweis geht so:
Das Ergebnis der Polynomdivision "z(x):(x-a)" besteht laut Wikipedia aus zwei Polynomen s(x) und r(x), so dass
\(z(x) = s(x)(x-a) + r(x)\)
wobei der Grad von r(x) kleiner ist als der Grad von (x-a). Also ist r(x) eine Konstante: \(r(x)=c\).
Es folgt \(z(x) = s(x)(x-a) + c\) (1)
c ist der Rest der Polynomdivision.
Aus Gl. (1) lässt sich der Beweis wie folgt führen:
Hinrichtung: Die Polynomdivision "z(x):(x-a)" hat keinen Rest.
Dann ist c=0. Wegen (1) folgt: \(z(a) = s(a)(a-a) = 0.\)
Also ist a Nullstelle von z.
Rückrichtung: a ist Nullstelle von z. Wegen (1) ist dann \(0=s(a)(a-a)+c = s(a)\cdot 0 + c\). Also ist c=0.
Also hat die Polynomdivision keinen Rest.
Der Beweis geht so:
Das Ergebnis der Polynomdivision "z(x):(x-a)" besteht laut Wikipedia aus zwei Polynomen s(x) und r(x), so dass
\(z(x) = s(x)(x-a) + r(x)\)
wobei der Grad von r(x) kleiner ist als der Grad von (x-a). Also ist r(x) eine Konstante: \(r(x)=c\).
Es folgt \(z(x) = s(x)(x-a) + c\) (1)
c ist der Rest der Polynomdivision.
Aus Gl. (1) lässt sich der Beweis wie folgt führen:
Hinrichtung: Die Polynomdivision "z(x):(x-a)" hat keinen Rest.
Dann ist c=0. Wegen (1) folgt: \(z(a) = s(a)(a-a) = 0.\)
Also ist a Nullstelle von z.
Rückrichtung: a ist Nullstelle von z. Wegen (1) ist dann \(0=s(a)(a-a)+c = s(a)\cdot 0 + c\). Also ist c=0.
Also hat die Polynomdivision keinen Rest.
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m.simon.539
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Könntest du mir den Teil noch erläutern, der sich für dich „leicht folgern“ lässt bitte?
─
handfeger0
08.12.2023 um 08:19
Habe den Rest des Beweises ergänzt.
─
m.simon.539
08.12.2023 um 20:18
z(x)=(x-a)*(s(x)+r_1(x))
Dabei ist r_1(x)=r(x)/(x-a) .
r(x) aus deiner Gleichung ist demnach der Term, der zum Abbruch der Polynomdivision führt. Und der muss konstant sein, da der Grad vom Divisor 1 ist? ─ handfeger0 08.12.2023 um 08:16