Kürzen einer gebrochen-rationalen Funktion

Aufrufe: 243     Aktiv: 08.12.2023 um 20:18

0
Liebes Forum!

Gegeben sei eine Funktion f mit f(x)=z(x)/n(x). Dabei sind z(x) und n(x) Polynome mit Koeffizienten aus den reellen Zahlen.
Zudem sei a eine reelle Nullstelle von n.

Stimmt die folgende Aussage? Falls ja, hat dafür jemand einen Beweis parat?

"Die Polynomdivision z(x):(x-a) hat genau dann keinen Rest, wenn a auch eine Nullstelle von z ist".

Intuitiv würde ich sagen, dass diese Aussage stimmt, mir fehlt aber die Sicherheit / der passende Beweis dazu.

Ich bedanke mich für eure Hilfe!
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 146

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Ja, die Aussage ist richtig.

Der Beweis geht so:
Das Ergebnis der Polynomdivision  "z(x):(x-a)" besteht laut Wikipedia aus zwei Polynomen s(x) und r(x), so dass
\(z(x) = s(x)(x-a) + r(x)\)
wobei der Grad von r(x) kleiner ist als der Grad von (x-a). Also ist r(x) eine Konstante: \(r(x)=c\).
Es folgt \(z(x) = s(x)(x-a) + c\)           (1)
c ist der Rest der Polynomdivision.

Aus Gl. (1) lässt sich der Beweis wie folgt führen:
Hinrichtung: Die Polynomdivision "z(x):(x-a)" hat keinen Rest.
Dann ist c=0. Wegen (1) folgt: \(z(a) = s(a)(a-a) = 0.\)
Also ist a Nullstelle von z.

Rückrichtung: a ist Nullstelle von z. Wegen (1) ist dann \(0=s(a)(a-a)+c = s(a)\cdot 0 + c\). Also ist c=0.
Also hat die Polynomdivision keinen Rest.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.31K

 

Ab Moment. Es gilt:
z(x)=(x-a)*(s(x)+r_1(x))

Dabei ist r_1(x)=r(x)/(x-a) .

r(x) aus deiner Gleichung ist demnach der Term, der zum Abbruch der Polynomdivision führt. Und der muss konstant sein, da der Grad vom Divisor 1 ist?
  ─   handfeger0 08.12.2023 um 08:16

Könntest du mir den Teil noch erläutern, der sich für dich „leicht folgern“ lässt bitte?   ─   handfeger0 08.12.2023 um 08:19

Habe den Rest des Beweises ergänzt.   ─   m.simon.539 08.12.2023 um 20:18

Kommentar schreiben