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Beweise, dass die linke Seite <2 ist für alle nat. Zahlen n.

1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1) = 5/2-1/2^(n-1)


Ich habe es so weit geschafft, dass ich nicht mehr bei 5/2-1/2^n-1 + 1/2^n < 2 nicht mehr weiter komme.

Siehe Bild.

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Das ist eine sehr mangelhafte Induktion, denn:
1. Der Ind.Anf. passt nicht zur Beh.. Es fehlt auch die Angabe, welches n benutzt wird.
2. Ind. Annahme fehlt.
3. Ind. Beh. fehlt
Ind. Schluss: Gerade bei Ungleichungen funktioniert äquivalentes Umformen oft nicht. Man würde mit der linken Seite der Ind. Beh. anfangen (nicht nur deswegen: hinschreiben, diese Dinge sind keine unnütze Deko!) und diese dann nach oben abschätzen um (hoffentlich) bei 2 rauszukommen.

Diese Aussage eignet sich auch nicht gut für Induktion. Erinnere Dich lieber an die geometrische Summenformel und rechne die Summe direkt aus. Damit hast Du (a) und (b) in einem Schlag erledigt.
Wenn Ihr die geom. SF noch nicht hattet, schlag sie nach und beweise sie separat (auch nicht schwer, geht auch ohne Induktion).
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Zu a) Beim Ind. Schritt fängt man mit der linken Seite der Ind.Beh. an und formt diese solange um, bis man bei der rechten ankommt.
Zu b) Den Tipp dazu hast Du ignoriert, dann ist es klar, dass Du nicht weiterkommst.
  ─   mikn 31.10.2023 um 22:50

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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Hier läuft einiges falsch. Zuerst wäre es gut mal die Aufgabenstellung im Original zu sehen, am besten als Foto hochladen.

Zu deiner (a), ja du kannst anhand eines bestimmten $n$ (in deinem Fall $n=1$) zeigen, dass die Gleichheit nicht gilt. Aber es ist $\dfrac{1}{2^{1-1}}\neq \dfrac{1}{2}$!

Zu deiner (b) hier sollst du nun eine vollständige Induktion machen. Das was du aufgeschrieben hast ist allerdings weder vollständig noch korrekt. Als erstes fängt man mit dem Induktionsanfang an. Danach formuliert man Voraussetzung und Behauptung bevor man sich an dem Induktionsschritt versucht. Zu deinem Beweisversuch, warum benutzt du die Gleichheit aus (a), wenn du doch weißt das diese falsch ist? Das führt dich nicht zum Ziel. Wie gesagt, schreibe von Anfang an alles sauber auf, dann sollte dir auch der Induktionsschritt weniger Probleme bereiten. Lade gerne deine überarbeiteten Überlegungen hoch, gehe dazu auf " Frage bearbeiten".

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