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Deine Idee läuft in der Tat im Wesentlichen auf das Gleiche heraus wie die "offizielle" Vorgehensweise.
Die "offizielle" Vorgehensweise ist allerdings nur statthaft, wenn die betreffende Funktion total differenzierbar ist.
Totale Differenzierbarkeit ist dabei ein stärkeres Kriterium als "alle partiellen Ableitungen existieren".
Gegenbeispiel: Die Funktion
\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl}
0 &\mbox{falls} & x=0 \;\mbox{oder}\; y=0 \\
1 &\mbox{sonst}
\end{array} \right. \)
ist im Punkte (0,0) nicht differenzierbar, aber \(\partial f/\partial x\) und \(\partial f/\partial y\) existieren dort - und sind 0.
Ist die Funktion f in einer Umgebung eines Punktes x total differenzierbar, und hat die Funktion ein Maximum oder Minimum, dann sind alle partiellen Ableitungen dort 0.
Dein f jedenfalls ist überall total differenzierbar, die partiellen Ableitungen sind im Punkte (0,0) gleich 0 - allerdings liegt hier weder Maximum noch Minimum vor; dass alle partiellen Ableitungen 0 sind, ist bei total differenzierbaren Funktionen ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium
Die "offizielle" Vorgehensweise ist allerdings nur statthaft, wenn die betreffende Funktion total differenzierbar ist.
Totale Differenzierbarkeit ist dabei ein stärkeres Kriterium als "alle partiellen Ableitungen existieren".
Gegenbeispiel: Die Funktion
\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl}
0 &\mbox{falls} & x=0 \;\mbox{oder}\; y=0 \\
1 &\mbox{sonst}
\end{array} \right. \)
ist im Punkte (0,0) nicht differenzierbar, aber \(\partial f/\partial x\) und \(\partial f/\partial y\) existieren dort - und sind 0.
Ist die Funktion f in einer Umgebung eines Punktes x total differenzierbar, und hat die Funktion ein Maximum oder Minimum, dann sind alle partiellen Ableitungen dort 0.
Dein f jedenfalls ist überall total differenzierbar, die partiellen Ableitungen sind im Punkte (0,0) gleich 0 - allerdings liegt hier weder Maximum noch Minimum vor; dass alle partiellen Ableitungen 0 sind, ist bei total differenzierbaren Funktionen ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium
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m.simon.539
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