Generell Optimierung Funktionen mehrerer Variabeln

Aufrufe: 104     Aktiv: 20.03.2024 um 08:27

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Hallo,

kurze Frage:

Gegeben eine Funktion

K=f(x,y)=x^2-4y^3 oder so irgendewas, halt abhängig von mehreren Variabeln.

Wenn mich nicht Alles täuscht findet man deren maximum oder minimum indem man

die partiellen Ableitungen gleich 0 setzt.

Also dK/dx=0 und Dk/dy=0.

Wirkt für mich befremdlich warum dies so "isoliert nach x und y" betrachten kann.

 

weil für einen bestimmten x wert ist das maximum von K ja an einer bestimmten y stelle.

für anderex liegt das optimale y vielleicht woanders.

 

Drum hätte ich normalerweise erst mal K nach bspw y abgeleitet (also partielle Ableitung nach y letztlich).

kriegt man y abhängig von x raus.

Nun im Startausdruck y ersetzt durch den Ausdruck von x.

 

Und shcon hängt K nur noch von x ab.

nun nach x ableiten, gleich 0 setzen, usw.

 

 

Kann sein dass mein vorgehen letztlich dasselbe ist wie die "offizielle" Vorgehensweise, aber im prinzip erschafft man bei offiziellen vorgehen ja 2 Bedingungen.

und ich verschachtele mehr eine bedingung in der anderen.

Obei es vermutlich wirklich auf selbe rausläuft, wiels ja letztlich ein Gleichungssystem a la

K=x^2-4y^3

dK/dx=0

dK/dy=0 wird

mit 3 Unbekannten (x,y,K) und 3 Gleichungen und wir wollen wohl K haben.

 

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Deine Idee läuft in der Tat im Wesentlichen auf das Gleiche heraus wie die "offizielle" Vorgehensweise.

Die "offizielle" Vorgehensweise ist allerdings nur statthaft, wenn die betreffende Funktion total differenzierbar ist.
Totale Differenzierbarkeit ist dabei ein stärkeres Kriterium als "alle partiellen Ableitungen existieren".

Gegenbeispiel: Die Funktion
\(f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl}
  0 &\mbox{falls} & x=0 \;\mbox{oder}\; y=0 \\
  1 &\mbox{sonst}
\end{array} \right. \)
ist im Punkte (0,0) nicht differenzierbar, aber \(\partial f/\partial x\) und \(\partial f/\partial y\) existieren dort - und sind 0.

Ist die Funktion f in einer Umgebung eines Punktes x total differenzierbar, und hat die Funktion ein Maximum oder Minimum, dann sind alle partiellen Ableitungen dort 0.

Dein f jedenfalls ist überall total differenzierbar, die partiellen Ableitungen sind im Punkte (0,0) gleich 0 - allerdings liegt hier weder Maximum noch Minimum vor; dass alle partiellen Ableitungen 0 sind, ist bei total differenzierbaren Funktionen ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium
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