Multipliziert man Deine Gleichung \(D=B^{-1} A B\) von links mit B, dann folgt: \(BD= A B\).
Multipliziert man diese Gleichung von rechts mit dem k. Einheitsvektor \(e_k\), dann folgt: \(BD e_k = A B e_k\).
Wenn \(D=\mbox{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), und wenn \(b_k\) die k. Spalte von B ist, dann folgt
\(B (\lambda_k e_k) \;=\; A b_k \Rightarrow \lambda_k b_k = A b_k\). Also folgt:

   *** Die k. Spalte der Matrix B ist ein Eigenvektor zum k. Eigenwert \(\lambda_k\) ***

Diesen Eigenvektor wiederum bekommt man heraus, indem man den Kern von \(A-\lambda_k I\) bestimmt (\(I\)=Einbeitsmatrix).
Irgendein Vektor (außer 0) aus dem Kern ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_k\).

Kniffeliger wird's, wenn Eigenwerte doppelt vorkommen. Beispiel: \(\lambda_1=\lambda_3=1,\,\lambda_3=2\).

Dann muss man den Kern von \(A-I\) ausrechnen. Der ist die Dimension 2. Die beiden Basisvektoren bilden die erste und dritte Spalte von B.
Dann muss man den Kern von \(A-2I\) ausrechnen. Der ist die Dimension 1. Der Basisvektor bilden die zweite Spalte von B.