Begleitmatrizen von diagonalisierbaren Matrizen berechnen

Aufrufe: 173     Aktiv: 08.10.2023 um 12:18

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Hallo :)
Wenn eine Matrix A aus Gln(K) diagonalisierbar ist, dann gilt, dass eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix B existieren, sodass D=B^-1 * A * B.
Meine Frage: Wie berechnet man die Matrix B bzw. B^-1, wenn ich D und A schon habe?
Vielen Dank im Voraus :)
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Student, Punkte: 79

 

Du kannst natürlich veruschen, irgendwelche LGS aufzustellen (die die Basisvektoren in Relation stellen) und zu lösen, aber ich glaube nicht, dass das die Antwort ist, die du dir erhofft hast, oder?   ─   crystalmath 07.10.2023 um 14:15
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1 Antwort
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Multipliziert man Deine Gleichung \(D=B^{-1} A B\) von links mit B, dann folgt: \(BD= A B\).
Multipliziert man diese Gleichung von rechts mit dem k. Einheitsvektor \(e_k\), dann folgt: \(BD e_k = A B e_k\).
Wenn \(D=\mbox{diag} (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), und wenn \(b_k\) die k. Spalte von B ist, dann folgt
\(B (\lambda_k e_k) \;=\; A b_k \Rightarrow \lambda_k b_k = A b_k\). Also folgt:

   *** Die k. Spalte der Matrix B ist ein Eigenvektor zum k. Eigenwert \(\lambda_k\) ***

Diesen Eigenvektor wiederum bekommt man heraus, indem man den Kern von \(A-\lambda_k I\) bestimmt (\(I\)=Einbeitsmatrix).
Irgendein Vektor (außer 0) aus dem Kern ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_k\).

Kniffeliger wird's, wenn Eigenwerte doppelt vorkommen. Beispiel: \(\lambda_1=\lambda_3=1,\,\lambda_3=2\).

Dann muss man den Kern von \(A-I\) ausrechnen. Der ist die Dimension 2. Die beiden Basisvektoren bilden die erste und dritte Spalte von B.
Dann muss man den Kern von \(A-2I\) ausrechnen. Der ist die Dimension 1. Der Basisvektor bilden die zweite Spalte von B.
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Das war auch mein Gedanke, aber alles lief dann doch darauf hinaus, die Eigenvektoren doch explizit zu berechnen. Sprich einfach nur den ganz normalen Algorithmus zur Diagonlisierung durchzuführen, nur, dass man kein charakteristisches Polynom mehr braucht.   ─   crystalmath 07.10.2023 um 19:14

Normalerweise wird sowas doch in der Vorlesung behandelt... Ich weiß nicht, ob ich es gut finde, wenn die Vorlesung hier "abgehalten" wird.   ─   cauchy 07.10.2023 um 20:23

Da liegt der Teufel im Detail. Normalerweise hat man ja eine (diagonalisierbare) Matrix $A$ gegeben und man soll $D,B$ berechnen. Soweit so gut, das ist, samt Algorithmus zu Berechnung, in irgendeiner Form sicherlich in den Vorlesungen drangewesen. Nun ist hier aber die Frage, wenn man zu $A$ bereits $D$ kennt, kann man $B$ dann effizienter/clever berechnen als für $A$ das komplette Standardprozedere durchzugehen?
Also damit finde ich nicht, dass das ein Vorlesungsfrage ist und selbst wenn, finde ich es eine gute Idee, diese Ideen und Konstruktionen gemeinsam zu wiederholen.
  ─   crystalmath 07.10.2023 um 21:46

Danke, ich bin jetzt draufgekommen :) Schwerer als eine 2x2 Matrix wirds nicht werden, da es eine mündliche Prüfung ist und wir so viel Zeit gar nicht haben :)   ─   emiliahlg 08.10.2023 um 12:18

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