Normalengleichung der Ebene mit Geraden

Aufrufe: 660     Aktiv: 27.01.2021 um 00:12

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Guten Abend,
mir fehlt der Ansatz bei der Aufgabe.
Ich wüsste bei a) wie ich vorgehen sollte falls 3 Punkte der Ebene gegeben sind. Gerade irritiert mich etwas.

Vielen Dank schon mal 

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Student, Punkte: 86

 
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Hallo

Also ich nehme an, dass du für die Normalengleichung der Ebene auch den Normalvektor der Ebene (dieser der senkrecht auf der Ebene steht) mit dem Kreuzprodukt berechnest und ihn dann einfach in die Gleichung einsetzt.
Für das Kreuzprodukt brauchst du nun 2 Vektoren die in deiner Ebene liegen. Was weisst du nun also, du weisst dass \(A\) und \(B\) enthalten sind, und dass die Gerade paralell zur Ebene verläuft. Das heisst doch aber auch, dass man die Gerade so verschieben könnte, dass sie direkt in der Ebene liegt oder?

Hmmm... aber das würde ja auch heissen, dass der Richtungsvektor der Geraden also \((4,0,-3)\) in der Ebene liegen würde.

So hast du jetzt nicht auch fast 2 Vektoren gegeben die wir ursprünglich gesucht haben? 

Nochmals zur Erinnerung wir haben \(A\) und \(B\) (also auch den Vektor \(v\) zwischen \(A\) und \(B\)) und wir haben den Vektor \(e=(4,0,-3)\), den kannst du ja einfach an B anhängen und dann hast du deine 2 Vektoren, verstehst du was ich meine?

Hier wäre noch eine kleine Skizze um dir das Ganze zu verdeutlichen:

 

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Student, Punkte: 1.95K

 

Hey danke vorab für deine ausführliche Erklärung.
Ich stehe noch etwas auf dem Schlauch. Korrigiere mich bitte wenn ich Blödsinn schreibe.
Ich kann ja v berechnen in dem ich den Abstand zwischen A und B berechne, nämlich => (0,3,0)
Wenn ich beide Richtungsvektoren, in diesem Fall v und e über Kreuzprodukt multipliziere erhalte ich den Normalenvektor. also => (-9,0,-12) oder auch gekürzt (-3,0,-4)

Ebenengleichung lautet ja E: (x-P) 1/no wobei P Aufpunkt ist.
Dann komme ich fast dem Ergebnis zunahe aber nicht ganz richtig.
Das Ergebnis soll lauten x+z=8

Habe ich alles falsch verstanden? Oder ist noch Hoffnung da ? :)
  ─   symrna35 26.01.2021 um 22:56

ja sicher gibt es noch Hoffnung. Also der Weg stimmt sicherlich, nun ist nur noch die Frage ob alles richtig abgeschrieben wurde, denn ich komme auf das gleiche Resultat und erhalte dann für \(E: 3x+4z=24\) wenn da nun anstatt \(4z\) noch \(3z\) stehen würde so könnte man das ganze mit 3 kürzen und würde auf die gewünschte Lösung kommen. nun ist nur die Frage haben wir einen Fehler oder die Lösung   ─   karate 26.01.2021 um 23:06

Ich habe als Ergebnis -3x+4z=-24

Ich schreibe nochmal die Werte hierhin:
A=(8,0,0) B=(8,3,0) g: x= (5,3,0)+§(4,0,-3)
AB= (0,3,0)
AB X e = n = (-9, 0, -12) bzw (-3,0,-4)

€ = (x-P)*n
€= -3*(x-8) + 4*(z-0)

Ich habe als Aufpunkt A genommen
  ─   symrna35 26.01.2021 um 23:13

Aber Achtung du nimmst +4*(z-0) dabei wären es ja -4 da ja dein Vektor (-3,0,-4) oder halt auch (3,0,4) wäre
  ─   karate 26.01.2021 um 23:15

Hoppla!
Aber auch dann kommen wir nicht auf x+z=8 :(
  ─   symrna35 26.01.2021 um 23:18

schau dir kurz meine nächste Antwort an   ─   karate 26.01.2021 um 23:20

nein ich komme auf das gleiche Resultat, das andere sieht man unten, kann gar nicht so funktionieren ausser die Aufgabe wurde falsch abgeschrieben.   ─   karate 26.01.2021 um 23:26

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Also ich mach es nochmals hier. Ich habe mir das ganze kurz zeichnen lassen und bin der Ansicht dass da bei den Lösungen etwas schief geloffen ist denn schau dir diese Bilder an

 


Dabei ist die blaue Ebene, die die wir herausgefunden haben, also \(E: 3x+4z=24\) und die rote wäre \(F: x+z=8\), die beiden grünen Punkte sind A, B die in der jeweiligen Ebene sein müssten und die schwarze Linie ist die Gerade. Du siehst recht schön, dass z.b. B nicht in der Ebene F liegt und auch g nicht parallel zu F verläuft, aber für unsere Lösung stimmt das alles, also denke ich sie haben einen Fehler gemacht, denn für die Blaue Ebene sind beide Punkte in der Ebene und die Gerade ist parallel dazu, wie gewünscht.

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Student, Punkte: 1.95K

 

ja genau wollte es nur kurz graphisch darstellen um Ihm aufzuzeigen, wieso dies nicht geht bzw. unsere Lösung stimmen wird.   ─   karate 26.01.2021 um 23:27

oh ja blöd mein Fehler sorry
  ─   karate 26.01.2021 um 23:37

Also ist unsere Lösung so richtig?
@mikn Sorry, dass mit der Ebenengleichung wurde falsch geschrieben, habe es auch jetzt gemerkt. Eine Nachricht weiter hatte ich es richtig geschrieben.
@karate vielen Dank für die ausführliche Hilfe!

  ─   symrna35 26.01.2021 um 23:41

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