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Hallo zusammen,

im Skript Mathematik 1 für Ingenieure von Daniel Jung steht unter 2.13 die folgende Gleichung:



Mich verwirren die Gleichheitszeichen.
So wie es da steht, bedeutet das, dass Folgendes gilt:


und

und

Aus der letzten Gleichung ergibt sich durch Äquivalenzumformung

Vektor x gleich Vektor a kann im nachfolgenden Beispiel NICHT sein.

Für folgende Beispielebene ergibt sich demnach:






Wenn ich nun den Abstand der Ebene E zum Ursprung errechnen will und den Ortsvektor der Ebene E dazu heranziehe


ergibt sich folgende Gleichung:



also

 
und



also



Es ist leicht ersichtlich, dass 0 nicht gleich -0,8910..... ist.

Also schließe ich daraus, dass die Gleichheitszeichen falsch sind.
Was ist eure Meinung dazu. Vielen Dank für euren Input.
Viele Grüße
HendrikS

gefragt

Punkte: 10

 

Hab mir jetzt auch nicht alles durchgelesen aber du kannst nicht durch Vektoren dividieren. Das Skalarprodukt ist auch nicht dasselbe wie eine Multiplikation in einem Ring oder Körper.

  ─   zest 26.08.2021 um 10:17

Vielen Dank für Deine Antwort. Das ich nicht durch Vektoren dividieren darf, hat mir bereits geholfen.
Den Satz mit dem Ring oder Körper verstehe ich nicht.
Dennoch vielen Dank.
  ─   hendriks 26.08.2021 um 10:28

Was ich damit meine ist: das Skalarprodukt ist eine Abbildung $$\langle \cdot, \cdot\rangle\colon V\times V \to \mathbb{R}$$ das als Input zwei Vektoren $\vec{x},\vec{y}$ und auf eine reelle Zahl abbildet. Das ist sehr weit davon entfernt, so etwas wie ein "Produkt von Vektoren" zu sein.

Die Abbildung ist überdies nicht injektiv. D.h. aus $\langle \vec{x},\vec{y} \rangle = \langle \vec{x},\vec{z} \rangle$ folgt im Allgemeinen nicht dass $\vec{y} = \vec{z}$.
  ─   zest 26.08.2021 um 10:37
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Ehm, also ohne jetzt den Rest gelesen zu haben:

Wenn da das Sakalarprodukt zweier Vektoren steht wie

vektor1 * Vektor2 = d

dann kannst du nicht einfach durch den vektor 2 teilen.

Ganz davon al abgesehen wie du überhaupt durch einen vektor teilen willst.

Teilen kann man nur durch eine Zahl, eiN Vektor hingegen besteht aus mehreren komponenten.

 

Insofern verstehe ich da schon nciht ganz, was du da zu tun gedenkst.

 

Stehen tut da letztlich nur dass diese 2 verschiedenen Skalarprodukte den selben Wert ergeben, eben diesen wert d.

mehr nicht.

Irgendwie nach n auflösen oder so geht da nicht direkt.

 

Insofern ist auch deine shclussfolgerung dass aus n * a = n * x folgt dass a=x ist, falsch.

weil du nicht einfach durch eine  vektor teilen kannst.

würden da überall betragsstriche stehen, wäre es eine andere sache. tuts aber nicht.

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Student, Punkte: 219

 

Gegenbeispiel noch:

Sei n=(1,1) a=(-1,1) und b=(1,-1)
dann ist
n*a=-1+1=0
n*b=1-1=0
also mit d=0 gilt durchaus
n*a=n*b=d
nichtsdestotrotz sind a und b offensichtlich verschieden!

Gut, in dem Beispiel sind sie linear abhängig voneinander, aber auch das muss nicht sein (glaube ich mal).
so oder so sind sie nicht gleich!
  ─   densch 26.08.2021 um 10:10

Zunächst vielen Dank. Dass ich nicht durch einen Vektor dividieren darf hat mir schon geholfen.
Die Schlussfolgerung das a=x ist ist dann natürlich falsch.

Beide Skalarprodukte sollen denselben Wert ergeben.
Irgendwie bin ich noch immer auf dem Holzweg, denn sie ergeben in meinem Beispiel eben nicht denselben Wert.
Einmal ist das Skalarprodukt 0 und einmal ist es -0,89.....
Der Betrag von -0.89.... ist auch der richtige Abstand meiner Beispielgeraden zum Ursprung, aber das zweite Skalarprodukt ist Null und das verstehe ich nicht, Irgendetwas habe ich noch nicht richtig verstanden.
  ─   hendriks 26.08.2021 um 10:34

Die Gleichung gilt ja auch nur für Vektoren $\vec{x}$, die in der Ebene liegen. Der Ursprung liegt ja nicht drin.   ─   cauchy 26.08.2021 um 14:30

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Zunächst, auch wenn's schon mehrmals gesagt wurde, darf man nicht durch einen Vektor dividieren. Verwende stets nur die festgelegten Rechenregeln - nie selbst welche ausdenken.
Es ist gut, dass Dich die Gleichheitszeichen verwirren, da ist ein Tippfehler.
Wenn $d_0$ der gesuchte Abstand ist, dann gilt:
$d_0= | \vec n_0\cdot \vec x -\vec n_0\cdot \vec a|$.
D.h. das erste Gleichheitszeichen muss ein minus sein, aber auch dann stimmt es nicht, weil der Betrag fehlt. Und einfacher (weil weniger zu rechnen) ist es in der Form:
$d_0= | \vec n_0\cdot (\vec x -\vec a)|$.
Ausklammern darf man bei Vektoren beim Skalarprodukt.
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