Analysis UNI, konvergent, divergent, (un)bestimmt divergent etc.

Erste Frage Aufrufe: 72     Aktiv: 29.10.2021 um 07:44

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Hi und schönen Abend euch allen,

ich hätte da eine Frage bezüglich einer Aufgabe, wo mehrere Gleichungen gegeben sind und man beweisen muss ob sie konvergent, divergent, bestimmt divergent gegen +- unendlich, oder unbestimmt divergent sind. Und falls sie konvergent sind muss man für diese dann den Grenzwert bestimmen.

Ich brauche jetzt nicht direkt für jede einzelne Gleichung eine Lösung, ich bräuchte nur einen Rechenweg für eine der Gleichungen und die anderen würde ich dann gerne lieber selbst lösen.
Also die Gleichung ist diese hier :

bn = 2n+3(-1)^n \ (-1)^n n^2 - 5

( \ = Bruchstrich)

mfg
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Hallo
also wenn ich das richtig verstanden habe, hast du folgende Folge: $$b_n=\frac{2n+3\left(-1\right)^n}{\left(-1\right)^n\cdot  n^2-5}$$
Ich hätte da folgendes gemacht:
Wir bemerken dass $$ \frac{2n-3}{-n^2-5}\leq\frac{2n+3\left(-1\right)^n}{\left(-1\right)^n\cdot  n^2-5}\leq\frac{2n+3}{n^2-5}$$. 
Nun gilt dann aber $\frac{2n+3}{n^2-5}=\frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{1-\frac{5}{n^2}}\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$. Gleichzeitig bemerken wir auch dass  $\frac{2n-3}{-n^2-5}=\frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{-1-\frac{5}{n^2}}\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$.
Nun können wir mit dem Sandwichlemma (Sandwichtheorem, zwei Polizisten Satz oder wie auch immer ihr den genannt haben) folgern dass $b_n\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$.
Daher hätte ich gesagt, dass die Funktion konvergiert. Ich hätte also meiner Ansich nacht nicht zuerst einen Beweis für die Konvergenz gemacht und dann den Grenzwert berechnet, sondern den Grenzwert angegeben und dann muss die Folge ja konvergieren, da der Grenzwert eindeutig ist.  Aber vielleicht ist da ein anderes Foremittglied anderer Meinung und kann mich korrigieren.
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Hey, danke für deine Mühe und deine Antwort, aber das 2n ist auf dem Zähler also 2n+3(-1)^n (dass ist der Zähler und der Nenner ist richtig. Sorry hätte es verständlicher schreiben müssen 😐.   ─   os9696 29.10.2021 um 00:20

Kein Problem habs geändert.   ─   karate 29.10.2021 um 07:44

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