Hallo
also wenn ich das richtig verstanden habe, hast du folgende Folge: $$b_n=\frac{2n+3\left(-1\right)^n}{\left(-1\right)^n\cdot  n^2-5}$$
Ich hätte da folgendes gemacht:
Wir bemerken dass $$ \frac{2n-3}{-n^2-5}\leq\frac{2n+3\left(-1\right)^n}{\left(-1\right)^n\cdot  n^2-5}\leq\frac{2n+3}{n^2-5}$$. 
Nun gilt dann aber $\frac{2n+3}{n^2-5}=\frac{\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{1-\frac{5}{n^2}}\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$. Gleichzeitig bemerken wir auch dass  $\frac{2n-3}{-n^2-5}=\frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{-1-\frac{5}{n^2}}\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$.
Nun können wir mit dem Sandwichlemma (Sandwichtheorem, zwei Polizisten Satz oder wie auch immer ihr den genannt haben) folgern dass $b_n\stackrel{n\to \infty}{\rightarrow} 0$.
Daher hätte ich gesagt, dass die Funktion konvergiert. Ich hätte also meiner Ansich nacht nicht zuerst einen Beweis für die Konvergenz gemacht und dann den Grenzwert berechnet, sondern den Grenzwert angegeben und dann muss die Folge ja konvergieren, da der Grenzwert eindeutig ist.  Aber vielleicht ist da ein anderes Foremittglied anderer Meinung und kann mich korrigieren.