Was bringt mir der Dualraum ?

Aufrufe: 56     Aktiv: 16.06.2021 um 11:06

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Hallo :)

Ich blicke bei dem Dualraumthema leider immer noch nicht ganz durch. Ich verstehe soweit nun die Definition,

also wenn V ein K-Vektorraum, dann ist V* die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K, soweit richtig oder?

Aber ich vestehe noch immer nicht, wieso man den braucht bzw wobei er mir helfen kann?

Könnte mir das vielleicht jemand erklären, oder kennt eine gute Seite wo es (einfach) erklärt ist ?


Vielen lieben Dank schonmal
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Die Definition stimmt, ja. Was du noch nicht erwähnt hast, ist dass $V^\ast$ tatsächlich wieder ein Vektorraum ist. Ist $\dim_KV<\infty$, dann gilt sogar $\dim_KV=\dim_KV^\ast$ und zu jeder Basis $e_1,\ldots,e_n$ von $V$ kann man eine Basis $e_1^\ast,\ldots,e_n^\ast$ von $V^\ast$ angeben mit $e_i^\ast(e_j)=\delta_{ij}$.
Diese Vektorraumstruktur auf der Menge der Linearformen hilft oft, Strukturen im ursprünglichen Vektorraum zu verstehen. Beispiele dafür wären:
  1. Sei $\dim_KV=n$. Jede affine Hyperebene $H$ hat eine "Hessesche Normalform": Es gibt $f\in V^\ast$ und $\alpha\in K$, sodass $H=\{v\in V\ |\ f(v)=\alpha\}$ und jeder $m$-dimensionale affine Unterraum ist der Schnitt von $n-m$ Hyperebenen.
  2. Sei $\dim_KV<\infty$ und $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ein Skalarprodukt. Dann ist $V\to V^\ast,\ v\mapsto\langle v,\cdot\rangle$ ein Isomorphismus, d.h. jede Linearform kann als Skalarprodukt dargestellt werden.
Das sind jetzt nur zwei recht einfache Beispiele, aber gerade das 2. ist oft ein Grund, warum Dualräume in der Linearen Algebra überhaupt eingeführt werden. Generell ist es oft sehr ergiebig, die Abbildungen von/auf einer Struktur zu analysieren, um die Struktur selbst zu verstehen; das ist ja sehr oft das Vorgehen in der Algebra. Ihr werdet bestimmt in den nächsten Wochen den Dualraum in Aussagen oder Beweisen verwenden; dann wirst du vielleicht auch erkennen, warum er hilfreich ist.
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Vielen Dank!
Dann werde ich mir das nochmals ansehen und gründlich darüber denken ^^
  ─   bünzli 16.06.2021 um 11:06

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