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Die Definition stimmt, ja. Was du noch nicht erwähnt hast, ist dass $V^\ast$ tatsächlich wieder ein Vektorraum ist. Ist $\dim_KV<\infty$, dann gilt sogar $\dim_KV=\dim_KV^\ast$ und zu jeder Basis $e_1,\ldots,e_n$ von $V$ kann man eine Basis $e_1^\ast,\ldots,e_n^\ast$ von $V^\ast$ angeben mit $e_i^\ast(e_j)=\delta_{ij}$.
Diese Vektorraumstruktur auf der Menge der Linearformen hilft oft, Strukturen im ursprünglichen Vektorraum zu verstehen. Beispiele dafür wären:
Diese Vektorraumstruktur auf der Menge der Linearformen hilft oft, Strukturen im ursprünglichen Vektorraum zu verstehen. Beispiele dafür wären:
- Sei $\dim_KV=n$. Jede affine Hyperebene $H$ hat eine "Hessesche Normalform": Es gibt $f\in V^\ast$ und $\alpha\in K$, sodass $H=\{v\in V\ |\ f(v)=\alpha\}$ und jeder $m$-dimensionale affine Unterraum ist der Schnitt von $n-m$ Hyperebenen.
- Sei $\dim_KV<\infty$ und $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ein Skalarprodukt. Dann ist $V\to V^\ast,\ v\mapsto\langle v,\cdot\rangle$ ein Isomorphismus, d.h. jede Linearform kann als Skalarprodukt dargestellt werden.
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stal
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Dann werde ich mir das nochmals ansehen und gründlich darüber denken ^^
─ bünzli 16.06.2021 um 11:06