Dimension Unterraum

Aufrufe: 144     Aktiv: 20.05.2022 um 09:50

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a* (1 2 3 4 5)^t + b*(1 3 5 7 9)^t + c* (-1 1 -1 1 -1)^t + d* (0 2 4 6 8)^t

wie findet man die Dimension heraus? Die Dimension wäre die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Wie finde ich diese heraus? Alles gleich 0 setzen und dann das Gleichungssystem lösen? Wenn ja, wie löst man das am besten?
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Ja, das homogene LGS lösen, sehr gut! Also es reicht Zeilenstufenform (mit Gauß). Anzahl führende Einsen ist die Dimension
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Da das Gleichungssystem überbestimmt ist, brauch ich nur 4 Gleichungen richtig? Und gibts einen Unterschied zu Gauß mit 3 Gleichungen?   ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 17:28

Ja theoretisch brauchst du nur vier, aber du darfst nicht einfach eine wegmachen, weil du nicht weißt welche zu viel ist. Gauß geht genauso   ─   mathejean 19.05.2022 um 17:44

Also soll ich Gauß mit 5 Gleichungen machen und sozusagen ein grösseres Dreieck machen, wegen mehr Gleichungen   ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 18:07

Einfach sowas machen: https://www.google.com/search?q=Zeilenstufenform&client=tablet-android-samsung-rev2&source=android-browser&prmd=ivsn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwih0J3e-ev3AhXuRjABHdg4CkoQ_AUoAXoECAIQAQ&biw=1138&bih=712&dpr=2.25#imgrc=V2FHlDb9tqiRoM

Generell kann man nicht immer ein Dreieck haben, wann es geht wirst du noch dieses oder nächstes Semester sehen, es hat auch mit Unterraum zu tuhen, die invariant bezüglich der Matrix sind und dann brauch man so eine Kette, man sagt Fahne
  ─   mathejean 19.05.2022 um 18:10

Ok, danke für die Information.
Das LGS habe ich jetzt gelöst und in der letzten Zeile steht jetzt 0=0, bedeutet das es gibt unendlich viele Lösungen oder wie ist das zu interpretieren? In der vorletzten steht 4*c =0
  ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 19:02

Die Anzahl der Zeilen die keine Nullzeile sind ist die Dimension   ─   mathejean 19.05.2022 um 19:56

Da hab ich 4. Die 4. Hat jedoch von 4 Variablen 3 auf 0. Ich kann also nicht alle Werte ausrechnen, also nur in Abhängigkeit. Is das egal? Ist es also einfach Dimension 4?   ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 20:41

Du hast also soweit gerechnet dass du bspw. d in Abhängigkeit von a,b,c schreiben kannst?
Wie sieht aktuell deine (Zwischen)Lösung aus?
  ─   densch 19.05.2022 um 20:50

wenn da in einer zeile 0=0 oder ähnliche offensichtliche Sachens tehen, dann heißt das, was vorher in dieser Zeile stand, "überflüssig" war.
Heißt, es war ein Vielfaches oder Linearkombination der anderen Zeilen und lieferte keine zusätzlichen bedingungen.
ist wie wenn du die 2 Gleichungen
x+y=3
und
2x+2y=6 hast.
Sind identisch.
Gausstechnisch könntest du 2. zeile=2.zeile-2*1. zeile rechnen, dann käme da auch 0=0 hin.
die zeile ist gewissermassen überflüssig, mir ist gerade der Fachbegriff entfallen.
Jedenfalls interessieren dich nur die Zeilen in denen nicht solche Trivialitäten wie 1=1 stehen
(WIchtiger Hinweis! Solltest du auf ähnliche Weise hingegen auf eine falsche Aussage wie 5=19 kommen, dann zeigt das dass das LGS nicht lösbar ist, es also gar keine Lösung gibt!)
  ─   densch 19.05.2022 um 20:54

Danke für die Erläuterungen! Ja da steht 0=0 in der letzten Zeile. Die ersten 4 sind (1 1 -1 0 = 0, 2 3 1 2 = 0, 0 2 2 4 = 0, 0 0 4 0 =0)   ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 23:00

Dann war die 5. zeile halt in irgendeiner Form überflüssig, was du durch entsprechende zeilenunformungen gezeigt hast.

Ansosnten bsit du noch nicht fertig, die ersten 4 zeilen kann man noch weiter machen:

hier könntest du meiner Ansicht nach noch 2. zeile=2.zeile-2*1.zeile rechnen, anshcließend 2. zeile noch durch was teilen damit sie eine führende 1 hat.
dann3. zeile=3. zeile minus vielfaches der 2. zeile und anshcließend wieder durch ne kosntante damit da
001 ?=0 steht.
usw.
falls es halt geht und nicht doch noch ein widerspruch oder tautologie oder so auftaucht.

im Idealfall, falls möglich , soll halt eine obere Dreiecksmatrix am Ende dastehen, die man auch noch idealerweise in eine EInheitsmatrx umformen kann.
  ─   densch 19.05.2022 um 23:30

Ich hab die selben Rechenschritte, aber statt der führenden 1 Spaltentausch gemacht, weil ich nicht weiß, was das ist. Als Lösung hab ich a= 2d b= -2d und c= 0. Für d hab ich keine Information, da eine weitere Zeile weggefallen ist. Ist das richtig und wie ergibt sich aus der Lösung die Dimension?   ─   mathefragen1234 19.05.2022 um 23:54

Okay, du hast jetzt das LGS gelöst, das kann man machen, braucht man aber nicht. Falls du schonmal Rang einer Matrix gehört hast, wir suchen den Rang der Matrix. Das ist die Anzahl aller Zeilen, die keine Nullzeile sind in der Zeilenstufenform.   ─   mathejean 20.05.2022 um 09:04

Danke   ─   mathefragen1234 20.05.2022 um 09:50

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