Im Prinzip kann dein Ergebnis schon stimmen, da das Bild von \(f\) der von \(\pmatrix{3\\0\\-1}\) aufgespannte eindimensionale Raum ist.  Du hast Dich aber einfach irgendwo verrechnet, die Zahlen stimmen nicht ganz.  Die beiden Spalten der Darstellungsmatrix müssen linear abhängig sein.

Die Vektoren $\binom 1{-3}$ und $\binom 3{-2}$ bilden eine Basis des $\mathbb R^2$, da sie offensichtlich linear unabhängig sind. Folglich wird durch Festlegen der Bilder dieser zwei Vektoren eine eindeutige lineare Abbildung definiert. Du kannst jetzt die Bilder der Standardbasis ausrechnen, entweder über den Basiswechselsatz oder händisch, indem du zuerst die Standardbasis als Linearkombination von $\binom1{-3}$ und $\binom3{-2}$ darstellst.
Aber eigentlich braucht man das gar nicht für die Aufgabe: Offensichtlich ist das Bild von $f$ eindimensional, nämlich das Erzeugnis von $\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$. Mit der Dimensionsformel $\dim V=\dim\ker(f)+\dim\mathrm{im}(f)$ folgt dann auch $\dim\ker(f)=1$. Es genügt also, einen nichttrivialen Vektor im Kern zu finden, der spannt dann schon den ganzen Kern auf. Es ist $$f\left(\binom3{-2}-\binom 1{-3}\right)=f\left(\binom3{-2}\right)-f\left(\binom1{-3}\right)=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},$$ also ist $\binom3{-2}-\binom1{-3}=\binom21\in\ker f$ und $\ker f=\langle\binom21\rangle$.
Die nächste Frage ist ja im Prinzip ein lineares inhomogenes Gleichungssystem, nach der Theorie dazu ist die Lösung gegeben durch $v_0+\ker f$, wobei $v_0$ eine spezielle Lösung ist. Kannst du einen Vektor finden, sodass $f(v_0)=\begin{pmatrix}6\\0\\-2\end{pmatrix}$?
Die letzte Frage hast du quasi schon richtig beantwortet, jeder Vektor im Bild von $f$ hat in der zweiten Koordinate eine $0$, also ist die angegebene Menge leer.