Endomorphismen einer linearen Abbildung

Aufrufe: 174     Aktiv: 6 Monate, 2 Wochen her

0

Hallo liebe Leute. Ich brauche bei der folgenden Aufgabe Hilfe. Teil a) habe ich bereits gelöst, jedoch komme ich bei b, c und d nicht weiter. Danke schon mal für eure Hilfe! 

gefragt 6 Monate, 2 Wochen her
anonym
Punkte: 14

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

Für b und c bestimmst du am besten zunächst die Eigenräume. Also du zeigst:

\( E(0) = ker( \phi ) \)

\( E(1) = im( \phi ) \)

Dies kannst du jetzt nutzen.

Wenn \( \phi \) nur den Eigenwert \(0\) hat, dann muss \( im(\phi) = \{0\} \) sein, also \( \phi = 0\).

Wenn \( \phi \) nur den Eigenwert \(1\) hat, dann muss \( ker( \phi ) = \{0\} \) sein. Für alle \(v \in V\) gilt dann \( \phi( \phi(v) - v) \) \( = \phi(\phi(v)) - \phi(v) \) \( = \phi(v) - \phi(v) = 0 \), also \( \phi(v) - v \in ker( \phi ) = \{0\} \) und somit \( \phi(v) - v = 0\) bzw. \( \phi(v) = v\). Es ist also \( \phi = id_V \).

Zur Aufgabe d fällt dir bestimmt noch selber ein Beispiel ein. Mit \( V=\mathbb{R}^2 \) ist das eigentlich nicht schwer. Du musst dir nur überlegen, auf welche Werte man die Basisvektoren am besten schickt, damit \( \phi \) die Eigenwerte \(0\) und \(1\) hat.

geantwortet 6 Monate, 2 Wochen her
anonym
Student, Punkte: 4.51K
 
Kommentar schreiben Diese Antwort melden