Trotzdem gut, dass Du es mit der partiellen Integration versucht hast. Integrieren lernt man nur durch Üben (und dazu ist es nicht nötig, dass es zum Ziel führt).

Zur konkreten Funktion: Substitution mit u=1/4k*x^2 sollte leicht zum Ziel führen, wenn Du eine Stammfunktion für ln kennst. Wenn nicht, musst Du die noch bestimmen, mit partieller Integration, wobei Du ln als 1*ln schreibst.

Du könntest auch den ln umschreiben nach der Regel \(\ln (ab) = \ln a+\ln b\), dann wirst Du das x^2 los und dann würde es auch mit partieller Integration gehen.