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Hallo Zusammen

Ich suche eine Funktion \(g:Y\rightarrow \mathbb{R}, Y \subset \mathbb{R}\) die stetig und injektiv ist. Weiter soll gelten, dass \(g:Y\rightarrow g(Y)\) kein Homöomorphismus ist. Irgendwie finde ich nur Funtkionen wie wiederum homöomorph sind. Hätte da jemand einen Tipp?
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Student, Punkte: 740

 

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Ein möglicher Trick ist, den Definitionsbereich als Vereinigung zweier trennbarer Mengen zu wählen (beispielsweise \( Y = [0,1) \cup [2,3] \)) und dann eine Funktion zu konstruieren, die ein zusammenhängendes Bild hat.

Hilft dir das weiter?
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Student, Punkte: 5.55K
 

aha also dass für die Funktion gilt \(lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)\)   ─   karate 08.03.2021 um 20:33

Genau :)   ─   anonym 08.03.2021 um 20:35

okei super ich versuche es also mal und würde meinen Vorschlag dann gerne hier rein schreiben zur Kontrolle wäre das okei?   ─   karate 08.03.2021 um 20:40

Ja, klar. Mach das.   ─   anonym 08.03.2021 um 20:45

also ich habe mir folgendes überlegt \(f:Y\rightarrow \mathbb{R}; f(x)=x, 0\leq x <1;\,\,\,\,\,\,\,\, f(x)=x+1, 2\leq x \leq 3 \) über diese Funktion wissen wir dass sie Stetig ist und injektiv. nun betrachten wir \(f^*:Y\rightarrow f(Y)\) wobei \(f(Y)=[0,2]\). Dabei betrachten wir nun die Inverse unserer neuen Funktion \((f^*)^{-1}(x)=x, 0\leq x <1;\,\,\,\,\,\,\,\, f(^*)^{-1}(x)=x+1, 1\leq x \leq 2\) Dabei gilt nun aber dass \(lim_{x\rightarrow 1^-}f^*(x)=1 \neq 2=lim_{x\rightarrow 1^+}f^*(x)\) also heisst das, dass die Funktion an der Stelle \(x=1\) nicht stetig ist und somit ist \(f^*\) kein Homöomorphismus   ─   karate 08.03.2021 um 21:07

Perfekt. (Du hast allerdings einen kleinen Druckfehler gemacht. Es sollte \( f(x)=x-1 \) für \( 2 \le x \le 3 \) sein.)   ─   anonym 08.03.2021 um 21:11

ah ja blöd, vielen dank!!
  ─   karate 08.03.2021 um 21:12

Sehr gerne. Schönen Abend noch :)   ─   anonym 08.03.2021 um 21:15

danke das wünsche ich dir auch!   ─   karate 08.03.2021 um 21:20

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