Die Summe, einer Summe, eines Binomialkoeffizienten

Erste Frage Aufrufe: 279     Aktiv: 01.11.2023 um 20:37

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Hier erstmal die Aufgabe:(Aufgabenstellung: Berechnen Sie, d.h. das Ergebnis soll keine Summenzeichen mehr enthalten)
Solche ähnlichen Aufgaben hatte ich schon davor, diese habe ich auf gelöst bekommen, nur war der große Unterschied das die Variablen im Binomialkoeffizienten dieselben waren wie die über und unter der Summe. Da konnte ich dann mit dieser Formel rechnen: nun ist diese Formel nicht mehr verwendbar (denke ich zumindest?). Das einzige was ich als Ansatz zum lösen gefunden habe ist: "the proof of the hockey stick" welcher besagt:Hockey Stick Identity in Combinatorics - YouTube aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen :/ .
Ich bin an einem Punkt wo ich nichtmal weißt wo ich Anfangen soll, Mathe ist nicht wirklich meine stärke, ich muss nur dieses eine Semester schaffen.

EDIT vom 01.11.2023 um 15:14:

Hier mein sehr gescheiterter Rechenversuch, ich habe keine Ahnung was ich tun soll um den BL anwenden zu können:
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Hier einige Schritte:
$\sum\limits_\nu\sum\limits_l \binom{l}\nu \pi^\nu = \sum\limits_\nu\pi^\nu \sum\limits_l\binom{l}\nu$
Nun schauen wir uns die innere Summe an. Beachte, dass hierin auch $\binom{l}\nu$ auftritt mit $l<\nu$, diese BKen sind aber üblicherweise per Def. $=0$ gesetzt. Damit haben wir:
$\sum\limits_{l=0}^n\binom{l}\nu = \sum\limits_{l=\nu}^n\binom{l}\nu$.
Darauf nun die hockey-stick-Gleichung anwenden.
Danach riecht es schon sehr nach binomischem Lehrsatz (Deine erste Hilfsgleichung). Zur Anpassung Indexverschiebung und auf den ersten Summanden achten. Dann kann der bL angewandt werden.
Ergebnis (ohne Gewähr): $\frac1\pi ((\pi+1)^{n+1}-1)$.
Versuch die Zwischenschritte selbst zu finden/verstehen und melde Dich bei Problemen.
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Also habe ich hier ja quasi stehen: ∑n v=0 von dem BK (n+1 ,v+1) * π^(v) . Wie eine Indexverschiebung ausgeführt wird habe ich denke ich verstanden, jedoch bin ich mir nicht sicher wo ich sie anwenden muss. Kann ich den binomischen Lehrsatz verwenden wenn auf dem Summenzeichen n+1 und v=1 steht? Ich gehe davon aus das wenn im Summenzeichen etwas anderes steht (n+1, v=1) sich die Formel des BL ändert, aber wie weiß ich nicht.
Ich habe dies jetzt länger recherchiert aber keine Antworten gefunden. Ich schaffe nur die innere Summe zu vereinfachen.
  ─   user2dc4b7 01.11.2023 um 01:45

Den bL kannst nur anwenden, wenn er passt. Beachte den Hinweis oben "auf ... achten". Bei Rückfragen lade deine gesamte Rechnung oben hoch (oben "Frage bearbeiten").   ─   mikn 01.11.2023 um 08:16

Habe meine gesamte Rechnung nun hochgeladen aber ich komme nur so weit bis ich den BL anwenden muss. Ich habe versucht irgendwie auf ein Ergebnis zu kommen aber ich verstehe nicht was ich tun kann damit es passt.   ─   user2dc4b7 01.11.2023 um 15:16

Kann sein, dass Du die richtige Idee hast, in dem Gewurschtel kann ich das nicht erkennen.
Schreib geordnet auf, also äußere Summe = ... = ... und forme dann um, um auf die Form der rechten(!) Seite des BL zu kommen.
  ─   mikn 01.11.2023 um 15:43

Meine Idee klappt leider vorne und hinten nicht, ich komme einfach nicht weiter. Könnten Sie mir erklären welche Umformungen ich durchführen muss? Ich kriege im BL die Summe einfach nicht zu ∑n v=0 mit dem BK(n+1 ,v+1) umgewandelt ich es dastehen habe, mir bleibt immer noch ein n+1 über dem summenzeichen oder mir fehlt ein v+1 im BK.   ─   user2dc4b7 01.11.2023 um 17:29

Ich habe die Schritte ja schon genannt und dass du geordnet vorgehen sollst. Mach das soweit du kommst und lade oben die Rechnung hoch.   ─   mikn 01.11.2023 um 18:04

Habe jetzt erneut meine Rechenschritte für eine Stunde angestarrt und es hat geklickt. Danke für Ihre Hilfe!   ─   user2dc4b7 01.11.2023 um 20:28

Solange Du nicht daraus lernst, dass Anstarren hilfreich ist, ist das ok. Sinnvoller ist es, was auszuprobieren und dabei geordnet vorzugehen. Aber egal, wenn Du jetzt damit durch bist, ist doch gut.   ─   mikn 01.11.2023 um 20:37

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