(Aufgabenstellung: Berechnen Sie, d.h. das Ergebnis soll keine Summenzeichen mehr enthalten)
nun ist diese Formel nicht mehr verwendbar (denke ich zumindest?). Das einzige was ich als Ansatz zum lösen gefunden habe ist: "the proof of the hockey stick" welcher besagt:
aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen :/ .
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Hier einige Schritte:
$\sum\limits_\nu\sum\limits_l \binom{l}\nu \pi^\nu = \sum\limits_\nu\pi^\nu \sum\limits_l\binom{l}\nu$
Nun schauen wir uns die innere Summe an. Beachte, dass hierin auch $\binom{l}\nu$ auftritt mit $l<\nu$, diese BKen sind aber üblicherweise per Def. $=0$ gesetzt. Damit haben wir:
$\sum\limits_{l=0}^n\binom{l}\nu = \sum\limits_{l=\nu}^n\binom{l}\nu$.
Darauf nun die hockey-stick-Gleichung anwenden.
Danach riecht es schon sehr nach binomischem Lehrsatz (Deine erste Hilfsgleichung). Zur Anpassung Indexverschiebung und auf den ersten Summanden achten. Dann kann der bL angewandt werden.
Ergebnis (ohne Gewähr): $\frac1\pi ((\pi+1)^{n+1}-1)$.
Versuch die Zwischenschritte selbst zu finden/verstehen und melde Dich bei Problemen.
$\sum\limits_\nu\sum\limits_l \binom{l}\nu \pi^\nu = \sum\limits_\nu\pi^\nu \sum\limits_l\binom{l}\nu$
Nun schauen wir uns die innere Summe an. Beachte, dass hierin auch $\binom{l}\nu$ auftritt mit $l<\nu$, diese BKen sind aber üblicherweise per Def. $=0$ gesetzt. Damit haben wir:
$\sum\limits_{l=0}^n\binom{l}\nu = \sum\limits_{l=\nu}^n\binom{l}\nu$.
Darauf nun die hockey-stick-Gleichung anwenden.
Danach riecht es schon sehr nach binomischem Lehrsatz (Deine erste Hilfsgleichung). Zur Anpassung Indexverschiebung und auf den ersten Summanden achten. Dann kann der bL angewandt werden.
Ergebnis (ohne Gewähr): $\frac1\pi ((\pi+1)^{n+1}-1)$.
Versuch die Zwischenschritte selbst zu finden/verstehen und melde Dich bei Problemen.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 36.88K
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Den bL kannst nur anwenden, wenn er passt. Beachte den Hinweis oben "auf ... achten". Bei Rückfragen lade deine gesamte Rechnung oben hoch (oben "Frage bearbeiten").
─
mikn
01.11.2023 um 08:16
Habe meine gesamte Rechnung nun hochgeladen aber ich komme nur so weit bis ich den BL anwenden muss. Ich habe versucht irgendwie auf ein Ergebnis zu kommen aber ich verstehe nicht was ich tun kann damit es passt.
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user2dc4b7
01.11.2023 um 15:16
Kann sein, dass Du die richtige Idee hast, in dem Gewurschtel kann ich das nicht erkennen.
Schreib geordnet auf, also äußere Summe = ... = ... und forme dann um, um auf die Form der rechten(!) Seite des BL zu kommen. ─ mikn 01.11.2023 um 15:43
Schreib geordnet auf, also äußere Summe = ... = ... und forme dann um, um auf die Form der rechten(!) Seite des BL zu kommen. ─ mikn 01.11.2023 um 15:43
Meine Idee klappt leider vorne und hinten nicht, ich komme einfach nicht weiter. Könnten Sie mir erklären welche Umformungen ich durchführen muss? Ich kriege im BL die Summe einfach nicht zu ∑n v=0 mit dem BK(n+1 ,v+1) umgewandelt ich es dastehen habe, mir bleibt immer noch ein n+1 über dem summenzeichen oder mir fehlt ein v+1 im BK.
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user2dc4b7
01.11.2023 um 17:29
Ich habe die Schritte ja schon genannt und dass du geordnet vorgehen sollst. Mach das soweit du kommst und lade oben die Rechnung hoch.
─
mikn
01.11.2023 um 18:04
Habe jetzt erneut meine Rechenschritte für eine Stunde angestarrt und es hat geklickt. Danke für Ihre Hilfe!
─
user2dc4b7
01.11.2023 um 20:28
Solange Du nicht daraus lernst, dass Anstarren hilfreich ist, ist das ok. Sinnvoller ist es, was auszuprobieren und dabei geordnet vorzugehen. Aber egal, wenn Du jetzt damit durch bist, ist doch gut.
─
mikn
01.11.2023 um 20:37
Ich habe dies jetzt länger recherchiert aber keine Antworten gefunden. Ich schaffe nur die innere Summe zu vereinfachen. ─ user2dc4b7 01.11.2023 um 01:45