Argument einer komplexen Zahl: arctan, arccos?

Aufrufe: 46     Aktiv: 19.06.2021 um 12:03

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Wir sollen den Winkel phi immer mit dem arctan berechnen (auch in der Klausur).
Da gibt es ja eine Menge Fallunterscheidungen, nach denen man noch Pi in diversen Ausführungen mit einbezieht. 

Habe jetzt festgestellt, dass man den arccos auch nehmen könnte, also Realteil durch Betrag der komplexen Zahl, wobei man nur mit zwei Fallunterscheidungen auskommt. 
Hinzu kommt der praktische Anwendungszweck im Ingenieursstudium, wonach man in der Wechseltromtechnik den Winkel vom Leistungsfaktor cos(phi) durch eben diese Form beschreiben kann. 

Weshalb nun also der Arkustangens? Welchen Sinn könnte das haben? Gibt es hier noch einen Vorteil gegenüber dem Arkuscosinus, den ich vielleicht übersehen habe?
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Der Vorteil bei der Methode mit dem Arcustangens ist, dass du nicht erst den Betrag der Zahl ausrechnen musst, sondern gleich nur mit Real- und Imaginärteil rechnen kannst. Im Prinzip ist es Geschmackssache, welche Methode man bevorzugt.
In der Praxis benutze ich sowieso nicht die ganzen Fallunterscheidungen, sondern überlege mir zuerst, in welchem Quadranten die Zahl liegt und dann, wie ich den arctan bzw. arccos umformen muss, damit ich im richtigen Quadranten lande.
Es gibt übrigens auch eine Formel, die komplett ohne Fallunterscheidungen auskommt: Für $z=x+iy$ ist das Argument gegeben durch $$\varphi=2\arctan\frac{y}{|z|+x}$$ wenn man $\arctan(\infty)=\frac\pi2$ akzeptiert, was natürlich keine saubere Schreibweise ist.
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