Der Vorteil bei der Methode mit dem Arcustangens ist, dass du nicht erst den Betrag der Zahl ausrechnen musst, sondern gleich nur mit Real- und Imaginärteil rechnen kannst. Im Prinzip ist es Geschmackssache, welche Methode man bevorzugt.
In der Praxis benutze ich sowieso nicht die ganzen Fallunterscheidungen, sondern überlege mir zuerst, in welchem Quadranten die Zahl liegt und dann, wie ich den arctan bzw. arccos umformen muss, damit ich im richtigen Quadranten lande.
Es gibt übrigens auch eine Formel, die komplett ohne Fallunterscheidungen auskommt: Für $z=x+iy$ ist das Argument gegeben durch $$\varphi=2\arctan\frac{y}{|z|+x}$$ wenn man $\arctan(\infty)=\frac\pi2$ akzeptiert, was natürlich keine saubere Schreibweise ist.