DGL 2.Ordnung lösen

Aufrufe: 529     Aktiv: 05.12.2022 um 11:53
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Ich habe folgende Gleichung gegeben:
y''+y'-2y=6e^x
Ansatz: A*x*e^(c*x)

Meine Lösung
yh:
l entspricht lambda
l²+l-2=0
mit der  pq-Formel erhalte ich dann
l1=1
und
l2=-2

yh=c1*e^x+c2*e^(-2x)


für yp erhalte ich aus dem Ansatz
yp=A*e^x
Das leite ich nun zwei mal ab
yp'=A*e^x
yp''=A*e^x

Nun setzte ich das ganze in die DGL ein
A*e^x+A*e^x-2*A*e^x=6e^x
Wenn ich das nun vereinfache, um nach A auflösen zu können, komme ich auf
0=6e^x

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Student, Punkte: 17

 
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1 Antwort
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Da 1 eine einfache Nullstelle des char. Polynoms ist, muss für $y_p$ der Ansatz $y_p(x)=Axe^x$ gewählt werden.
Auf http://www-hm.ma.tum.de/ss06/bv2/aufgaben/Zusatzblatt1_LinDGL_KonstKoeff.pdf
sind die verschiedenen Varianten aufgelistet.
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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 40.14K

 
Also, weil die 1 als vorfaktor vor dem x auf der rechten Seite ( 6*e^(1*x) ), eine Nullstelle des char. Polynom ist, muss yp(x)=Axe^x gewöhlt werden?
Das bedeutet dann, dass solange vor dem x irgendwelche Zahlen außer 1 bzw. -2 stehen das x aus yp weggelassen werden kann, oder?

Hier die überarbeitete Lösung:

yp=A*x*e^x
Das leite ich nun zwei mal ab
yp'=A*e^x
yp''=A*e^x

Nun setzte ich das ganze in die DGL ein
A*e^x+A*e^x-2*A*x*e^x=6e^x
Wenn ich das nun vereinfache, um nach A auflösen zu können, komme ich auf
A=3/(1-x)

Mein y ist dann:
y=c1*e^x+c2*e^(-2x)+3/(1-x)*x*e^x
   ─   mathe4.0 05.12.2022 um 00:00
falsch abgeleitet. Produktregel: \((x*e^x)'=x*e^x+e^x\)   ─   scotchwhisky 05.12.2022 um 00:08

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