Ein Vektorraum ist ein mathematisches Konzept und muss bestimmte Regeln erfuellen. Diese Regeln welche verifizieren ob etwas ein Vektorraum ist, kannst du direkt aus Wikipedia uebernehmen: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum 

Um zu schauen ob etwas ein Vektorraum ist musst du generell ueberpruefen ob all diese Regeln zutreffen. Allgemein bilden die Menge aller Funktionen \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit der standard addition und multiplikation einen Vektorraum ueber den Koerper der reellen Zahlen, weil die Regeln erfuellt sind. 

Offensichtlich ist die Menge \(V_1\) mit standard addition und multiplikation eine Teilmenge aller funktionen wie oben definiert. Nun um zu zeigen, dass \(V_1\) ueber dem Koerper \(\mathbb{R}\) ein Untervektorraum bildet musst du nur noch Linearitaet zeigen, da alle anderen Regeln immer noch gelten.

Mit \(\alpha , \beta \in \mathbb{R} \) und \( \alpha x^2 ,  \beta x^2 \in V_1\):

$$\alpha x^2  + \beta x^2  = (\alpha + \beta) x^2 \in  V_1$$,

da \(\alpha + \beta \in \mathbb{R} \) und somit ist \(V_1\) ein (Unter)Vektorraum.

ja bildet es, was hast du denn schon versucht?

ansich musst du nur schauen, dass:

- der raum nicht leer ist

- wenn f und g enthalten sind, muss auch f+g enthalten sein

- wenn f enthalten ist, ist auch alpha*f enthalten für alpha reelle zahl

wenn du das alles zeigst, bist du schon fertig