Konvergenz beweisen

Aufrufe: 165     Aktiv: 20.11.2022 um 12:06

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Ich habe folgende Aufgabe bekommen und habe schon herausgefunden, dass a nicht konvergent ist und b konvergent gegen 0 konvergiert. Es wurde uns nur leider nicht gesagt, wie man den Beweis formal aufschreibt und ich weiß nicht so richtig, wo ich anfangen soll, dass es auch für einen Beweis reicht. Kann mir das irgendwer beantworten? 

Dankeschön

EDIT vom 20.11.2022 um 09:30:

Das wäre soweit mein Ansatz. Ich hätte noch eine weitere Frage. Ist das n epsilon einfach ein Index oder wofür steht das genau? Und ich vermute wie unten, dass die Folge den uneigentlichen Grenzwert von plus unendlich hat. Stimmt das und wie schreibe ich das korrekt auf? Danke nochmal. 
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Ein Beweis basiert auf Deiner informellen Begründung. Wie ist Deine Begründung dafür, dass $(a_n)$ nicht konvergiert?
Und bei $(b_n)$? Hier ist Deine Begründung besonders interessant, weil die Folge gar nicht gegen 0 konvergiert.
Das Aufschreiben eines Beweises ist also keine Formalität, sondern zwingt auch nochmal, alles genau durchzudenken.

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Meine Begründung bei a wäre, dass wenn n gegen unendlich geht und der Faktor ja nicht vermindert geht, es keine Beschränkung gibt und dann auch keine Konvergenz. Bei n bin ich mir unsicher wegen dem plus.   ─   hanni 19.11.2022 um 15:10

Zu a): Das ist schonmal gut. Man kann nachweisen, dass $(a_n)$ unbeschränkt ist, und dann gibt es (hoffentlich - nachschauen!) einen Satz in der Vorlesung, der sagt, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Kannst Du formal beweisen, dass $(a_n)$ unbeschränkt ist?
Zu b): Bringe mal alles auf einen Bruch. Man kann den Zähler zusammenfassen (Formel sollte bekannt sein?!).
  ─   mikn 19.11.2022 um 15:15

Mein Problem ist halt genau da, dass ich es nicht formal runterschreiben kann bei a. In dem Skript steht alles durcheinander und da steht kein Beweis komplett, deswegen frage ich ja. Und mein Problem ist, dass ich nicht weiß, ob man den Wert gegen den es konvergiert, schätzt oder irgendwie rausfindet.
Bei b das zusammenfassen ist klar. Ist das dann wie eine Konstante zu betrachten? Gegen unendlich kann man ja nicht konvergieren oder?
  ─   hanni 19.11.2022 um 16:01

Zu a): Schlag nach, was beschränkt heißt (Def.) und negiere das logisch. Das ist der erste Schritt, dann wissen wir, was unbeschränkt heißt (und können es später nachweisen). Achte genau auf die Aussagenlogik dabei.
Zu b) Zusammenfassen meinte ich so, dass keine .... mehr drin stehen.
  ─   mikn 19.11.2022 um 16:22

Bei a mache ich das, wenn ich bei b die n‘s weghabe würde da ja nur noch eine Folge gegen unendlich stehen oder?   ─   hanni 19.11.2022 um 16:50

Mach nicht zwei Teilaufgaben gleichzeitig.
Zu b): Lade Deine Rechnung (die zur Zusammenfassung) hier hoch (oben "Frage bearbeiten").
  ─   mikn 19.11.2022 um 16:54

Kannst du mir vielleicht ein Beispiel zeigen, wie das theoretisch gehen würde?   ─   hanni 19.11.2022 um 16:55

Beispiel wofür? Ich hab Dir für a) ein Vorgehen vorgeschlagen. Wie weit kommst Du damit?   ─   mikn 19.11.2022 um 17:49

Ich denke ich versuche es morgen nochmal zu lösen, es hat schon sehr geholfen. Dankeschön   ─   hanni 19.11.2022 um 18:05

ok. Wir können gerne morgen hier weitermachen (bitte keine neue Frage aufmachen).   ─   mikn 19.11.2022 um 18:08

Du solltest genau (ganz genau!) auf die Formulierungen in der Vorlesung und in meinen Tipps achten.
Zu a) und unbeschränkt habe ich in meinem Kommentar oben gesagt, welchen Satz der Vorlesung Du benötigst. Du hast was anderes gemacht, ich glaube nicht, dass Dein Satz (Deine "Annahme") so in der Vorlesung steht. Mit Monotonie hat man hier nichts zu tun.
Ich hab Dir ein Vorgehen in Schritten genannt. Du hast die Def. von "beschränkt" rausgesucht, sehr gut. Dann sagte ich negieren. Bitte lass mich meine Tipps nicht mehrfach sagen müssen, Du verlierst sonst den Überblick in diesem langen Dialog.
  ─   mikn 20.11.2022 um 11:01

Die Negation wäre ja dann „ Eine Folge ist genau dann unbeschränkt, wenn es keine Zahl M grösser gleich Null gibt, mit Betrag von an kleiner gleich M für alle n aus den natürlichen Zahlen?“   ─   hanni 20.11.2022 um 11:26

Ja, richtig, aber das muss man anders formulieren (ohne "keine" und "nicht"), um damit einen Beweis zu formulieren. Negiere also: "es gibt ein $M\ge 0$ usw.". Wiederhole ggf. die nötigen Grundlagen der Aussagenlogik (die sind das Handwerkszeug für Beweise).   ─   mikn 20.11.2022 um 11:32

Dankeschön. Wenn ich die Negation für die Unbeschränktheit habe, wie wäre dann mein Ansatz für den Beweis?Das wäre meine letzte Frage, ab da würde ich es dann gerne alleine versuchen. Vielen Dank für deine Hilfe.   ─   hanni 20.11.2022 um 11:51

Dann beweist Du das, was in der Negation steht (denn wir wollen ja zeigen, dass die Folge unbeschränkt ist). Mein Vorschlag: Stelle erst sicher, dass die Negation stimmt, sonst ist alles danach ja umsonst.
Übrigens: Ja, sie konvergiert uneigentlich gegen $\infty$, aber danach ist in der Aufgabe nicht gefragt, daher kümmern wir uns nicht darum.
  ─   mikn 20.11.2022 um 12:05

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