Komplexe Folge, jemand eine Idee/ Ansatz?

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Hallo,
betrachte am besten erstmal \(L=\lim (\frac{1+n}{n})^n\). Es folgt \(\ln(L)=\lim n\cdot \ln(\frac{1+n}{n})=1 \Rightarrow L=e\). Daraus kann man dann auch \(i\cdot (\lim((\frac{1+n}{n})^n)^2\) ableiten.
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Student, Punkte: 1.44K

 

Danke für die schnelle Antwort. Wie bist du auf den ln gekommen ?   ─   matherockstar 12.01.2022 um 16:33

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Das ist ein üblicher Trick um die Variable aus dem Exponenten zu holen.   ─   fix 12.01.2022 um 16:37

Verstanden & wie ergibt sich dann die 1 ? :-)
  ─   matherockstar 12.01.2022 um 16:41

Die 1 ergibt sich aus der Regel von L'Hospital, nachdem man den Ausdruck als \(\frac{\ln(\frac{1+n}{n})}{\frac{1}{n}}\) umschreibt.   ─   fix 12.01.2022 um 16:46

jetzt verstehe ich aber nicht, woher wir 1/n herbekommen ..   ─   matherockstar 12.01.2022 um 16:52

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\(n=\frac{1}{\frac{1}{n}}\)
  ─   fix 12.01.2022 um 16:52

Magst du mir nochmal genauer erklären, warum wir das umformen & warum am Ende e rauskommt ?   ─   matherockstar 12.01.2022 um 17:04

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Wie gesagt wird der Limes von \(\frac{\ln(\frac{1+n}{n})}{\frac{1}{n}}\) betrachtet. Mit der Regel von L'Hospital folgt \(-\frac{n^2}{\frac{1+n}{n}}\cdot -\frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{1+n}=1\) Da \(\ln(L)=1\) folgt \(L=e\)   ─   fix 12.01.2022 um 17:16

Super, nun zum linken Teil. Stimmt das Ergebnis: lim √11 ?   ─   matherockstar 12.01.2022 um 18:36

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Man sollte wissen, dass $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$ gilt. Damit ist der Rest ein Kinderspiel und man erspart sich diese lästige Umrechnerei.   ─   cauchy 12.01.2022 um 19:47

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\(\sqrt{11}\) stimmt für den ersten Teil   ─   fix 12.01.2022 um 21:10

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