Erwartungswert der geometrischen Verteilung beweisen

Erste Frage Aufrufe: 86     Aktiv: 06.12.2022 um 21:36

0
Hallöchen, ich habe eine Frage zur Berechnung des Erwartungswertes der geometrischen Verteilung $X \sim G(p)$.
Wir haben den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert als:
Für \( X:(\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow(\mathbb{Z}, \mathbb{P}(\mathbb{Z})) \) mit diskreter Dichte \( p_{x}\) gilt \(\mathbb{E}[X]=\sum \limits_{x \in \mathbb{Z}} x p_{x}\)

Die geometrische Verteilung haben wir definiert als:

Die geometrische Verteilung zum Parameter \( p \in[0,1) \) ist das Wahrscheinlichkeitsmaß \( G(p) \) auf \( (\mathbb{Z}, \mathbb{P}(\mathbb{Z})) \), welches definiert ist durch die diskrete Dichte
\(p_{x}=\left\{\begin{array}{ll}
p(1-p)^{x} & , \text { für } x \in \mathbb{N}_{0}, \\
0 & , \text { sonst }
\end{array}\right. \)

Wir sollten uns den Beweis dazu in der Literatur anschauen, das Problem: In allen Büchern zur VL wurde die Dichtefunktion defniert als:
\(p_{x}=\left\{\begin{array}{ll}
p(1-p)^{x-1} & , \text { für } x \in \mathbb{N}_+, \\
0 & , \text { sonst }
\end{array}\right. \)

Im Endeffekt unterscheiden sich die Definitonen also um den Definitionsbereich von x. Wenn ich nun aber den Erwartungswert berechnen möchte, dann stimmen die Definitionen halt nicht wirklich überein. Ob ich nun $p(1-p)^x=p(1-p)(1-p)^{x-1}$ umforme, oder in der Summe die Indizes verschiebe, bzw. abspalte. Kann mir da jemand helfen?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 

Frage hat sich geklärt   ─   sa1vador 06.12.2022 um 16:49
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Es gibt für die geometrische Verteilung eben genau diese beiden Varianten (findet man auch so bei Wiki). Die Erwartungswerte sind dann natürlich auch nicht identisch. Nutze also die Verteilung, die ihr in der Vorlesung definiert habt.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 26.73K

 

Kommentar schreiben