Hallöchen, ich habe eine Frage zur Berechnung des Erwartungswertes der geometrischen Verteilung $X \sim G(p)$.
Wir haben den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert als:
Für \( X:(\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow(\mathbb{Z}, \mathbb{P}(\mathbb{Z})) \) mit diskreter Dichte \( p_{x}\) gilt \(\mathbb{E}[X]=\sum \limits_{x \in \mathbb{Z}} x p_{x}\)

Die geometrische Verteilung haben wir definiert als:

Die geometrische Verteilung zum Parameter \( p \in[0,1) \) ist das Wahrscheinlichkeitsmaß \( G(p) \) auf \( (\mathbb{Z}, \mathbb{P}(\mathbb{Z})) \), welches definiert ist durch die diskrete Dichte
\(p_{x}=\left\{\begin{array}{ll}
p(1-p)^{x} & , \text { für } x \in \mathbb{N}_{0}, \\
0 & , \text { sonst }
\end{array}\right. \)

Wir sollten uns den Beweis dazu in der Literatur anschauen, das Problem: In allen Büchern zur VL wurde die Dichtefunktion defniert als:
\(p_{x}=\left\{\begin{array}{ll}
p(1-p)^{x-1} & , \text { für } x \in \mathbb{N}_+, \\
0 & , \text { sonst }
\end{array}\right. \)

Im Endeffekt unterscheiden sich die Definitonen also um den Definitionsbereich von x. Wenn ich nun aber den Erwartungswert berechnen möchte, dann stimmen die Definitionen halt nicht wirklich überein. Ob ich nun $p(1-p)^x=p(1-p)(1-p)^{x-1}$ umforme, oder in der Summe die Indizes verschiebe, bzw. abspalte. Kann mir da jemand helfen?