Char(K)=0 oder eine Primzahl

Aufrufe: 338     Aktiv: 06.04.2023 um 15:45

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Hallöchen, es ist zu zeigen: Die Charakteristik eines Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl

Mein Beweis bis dahin:

1.Fall: \( \nexists n \in \mathbb{N}: n \cdot 1=0 \), dann ist nach Definition \( \operatorname{char}(K)=0 \)
2. Fall:
\( \exists n \in \mathbb{N}: n \cdot 1=0 \), dann bleibt zu zeigen, dass dieses \( n \) eine Primzahl ist. Wir beweisen dies durch die Herbeiführung eines Widerspruchs. Angenommen, \( n \) wäre keine Primzahl, dann kann man \( n \) schreiben als \( n=k \cdot l \), wobei \( 1<k<n \) und \( 1<l<n \). Dann würde gelten:
$$0=n \cdot 1=(k \cdot l) \cdot 1 \stackrel{\text { Distr. }}{=}(k \cdot 1)(l \cdot 1) \Rightarrow k \cdot 1=0 \vee l \cdot 1=0$$
Da \( k<n \) und \( l<n \) stünde dies im Widerspruch dazu, dass \( n \) die kleinste Zahl ist, für die \( n \cdot 1=0 \) gilt.

Es geht mir tatsächlich nur eine eine Kleinigkeit, nämlich die Annahme, dass \( 1<k<n \) und \( 1<l<n \). Eine Primzahl lässt sich ja nur restlos durch sich selbst und 1 teilen, heißt, wenn ich das Produkt $n=k \cdot l$ schreibe, dann sollte ja zwecks meines Beweises $k>1$ sein, dementsprechend kann ja auch nur \( 1<l<n \) gelten, weil sonst ja wieder $n=k \cdot l$ unmöglich wäre. Aber wer sagt mir, dass $k<n$ sein muss? Kann man da argumentieren, dass wenn $k>n$ wäre und $l>1$ ebenfalls $n=k \cdot l$ unmöglich wäre? Hällt dann überhaupt noch die Argumentation aus meinem ersten Satz, weil sich das für mich halt irgendwie nach einem Zirkelschluss anhört.

Ich hoffe, ich konnte das Problem gut auf den Punkt bringen und freue mich auf eure Mithilfe .D

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1 Antwort
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Moin,
Das sieht soweit gut aus.
Wenn man annimmt, dass $n$ keine Primzahl ist, hat $n$ per Definition zwei echte Teiler. Außerdem gilt $a |b \implies a\le b$ für $a,b\in\mathbb{N}$. Es ist also sowohl $k<n$ als auch $l<n$.

Ein eleganterer Beweis benutzt den kanonischen Ringhomomorphismus$$\varphi:\mathbb{Z}\to K
\\n\mapsto1+1+...+1$$
Falls ihr den schon eingeführt haben solltet.
LG
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Danke für deine schnelle Antwort, damit kann ich sehr gut weiterarbeiten. Den Beweis mit dem Ringhomomorphismus hatte ich mir auch schon angesehen, ist aber für diesen Fall irrelevant.   ─   debiant3x 06.04.2023 um 15:45

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