Hallöchen, es ist zu zeigen: Die Charakteristik eines Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl

Mein Beweis bis dahin:

1.Fall: \( \nexists n \in \mathbb{N}: n \cdot 1=0 \), dann ist nach Definition \( \operatorname{char}(K)=0 \)
2. Fall:
\( \exists n \in \mathbb{N}: n \cdot 1=0 \), dann bleibt zu zeigen, dass dieses \( n \) eine Primzahl ist. Wir beweisen dies durch die Herbeiführung eines Widerspruchs. Angenommen, \( n \) wäre keine Primzahl, dann kann man \( n \) schreiben als \( n=k \cdot l \), wobei \( 1<k<n \) und \( 1<l<n \). Dann würde gelten:
$$0=n \cdot 1=(k \cdot l) \cdot 1 \stackrel{\text { Distr. }}{=}(k \cdot 1)(l \cdot 1) \Rightarrow k \cdot 1=0 \vee l \cdot 1=0$$
Da \( k<n \) und \( l<n \) stünde dies im Widerspruch dazu, dass \( n \) die kleinste Zahl ist, für die \( n \cdot 1=0 \) gilt.

Es geht mir tatsächlich nur eine eine Kleinigkeit, nämlich die Annahme, dass \( 1<k<n \) und \( 1<l<n \). Eine Primzahl lässt sich ja nur restlos durch sich selbst und 1 teilen, heißt, wenn ich das Produkt $n=k \cdot l$ schreibe, dann sollte ja zwecks meines Beweises $k>1$ sein, dementsprechend kann ja auch nur \( 1<l<n \) gelten, weil sonst ja wieder $n=k \cdot l$ unmöglich wäre. Aber wer sagt mir, dass $k<n$ sein muss? Kann man da argumentieren, dass wenn $k>n$ wäre und $l>1$ ebenfalls $n=k \cdot l$ unmöglich wäre? Hällt dann überhaupt noch die Argumentation aus meinem ersten Satz, weil sich das für mich halt irgendwie nach einem Zirkelschluss anhört.

Ich hoffe, ich konnte das Problem gut auf den Punkt bringen und freue mich auf eure Mithilfe .D