Dein Endergebnis ist nicht korrekt.

\((1-\sin x )^{\cos x} = \exp \left (\cos (x) \ln (1-\sin x) \right) \Longrightarrow \exp \left (\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos (x) \ln (1-\sin x) \right)\)

Der Grenzwert ist nicht definiert. Ich nutze daher L'Hospital.

\(\exp \left (\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{-\frac{\cos x}{1-\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos ^2 x}} \right) \stackrel{?}{=} \exp \left (\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ^3}{\sin x -1} \cdot \dfrac{1}{\sin x } \right) \stackrel{?}{=} \exp \left (\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ^3}{\sin x -1} \cdot \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\sin x } \right)\)

Da der GW für den linken Faktor noch immer nicht existiert, muss dort noch mal L'Hospital angewendet werden. Das überlasse ich dir.