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Es gilt \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} = e^2 > 2 \), insbesondere gibt es also ein \( N \), sodass für alle \( n \ge N \) die Ungleichung \( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} > 2 \) gilt.
Für \( n \ge N \) erhalten wir also die Abschätzung \( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} = \left( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} \right)^n > 2^n \) und somit \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} \ge \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty \).
Allgemein kann man sich übrigens überlegen: Gilt \( \lim_{n \to \infty} a_n = a > 1 \), dann muss \( \lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \infty \) sein.
Für \( n \ge N \) erhalten wir also die Abschätzung \( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} = \left( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} \right)^n > 2^n \) und somit \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} \ge \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty \).
Allgemein kann man sich übrigens überlegen: Gilt \( \lim_{n \to \infty} a_n = a > 1 \), dann muss \( \lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \infty \) sein.
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Danke. Mir ist jedoch immer noch nicht vollständig klar, aus welchem Grund genau man nicht mit \(e^2\) weiterrechnen kann.
─
jan142
13.02.2021 um 23:25
Wenn möglich kann man für den Limes entsprechende Rechenregeln anwenden, aber vom Prinzip her muss man den Limes immer als Ganzes betrachten. Man kann Grenzwerte also nicht "Stück für Stück" ausrechnen.
Beispielsweise kann man bei \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \) nicht erst \( \lim_{n \to \infty } 1+ \frac{1}{n} = 1 \) ausrechnen und damit \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1 \) folgern, denn bekanntlich ist ja \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e \). ─ 42 13.02.2021 um 23:39
Beispielsweise kann man bei \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \) nicht erst \( \lim_{n \to \infty } 1+ \frac{1}{n} = 1 \) ausrechnen und damit \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1 \) folgern, denn bekanntlich ist ja \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e \). ─ 42 13.02.2021 um 23:39
