Folgengrenzwert

Aufrufe: 62     Aktiv: 13.02.2021 um 23:41

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Ich habe die Folge \(b_n = (1+\frac{2}{n+1})^{n²+n} = ((1+\frac{2}{n+1})^{n})^{n}  \cdot (1+\frac{2}{n+1})^n \). Schaut aus als würde, sofern die Folge konvergiert, diese gegen irgendetwas in der Form \(c \cdot e^d\) konvergieren. Komme leider nicht wirklich weiter.
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2 Antworten
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Es gilt \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} = e^2 > 2 \), insbesondere gibt es also ein \( N \), sodass für alle \( n \ge N \) die Ungleichung \( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} > 2 \) gilt.
Für \( n \ge N \) erhalten wir also die Abschätzung \( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} = \left( \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n+1} \right)^n > 2^n \) und somit \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n+1} \right)^{n^2+n} \ge \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty \).

Allgemein kann man sich übrigens überlegen: Gilt \( \lim_{n \to \infty} a_n = a > 1 \), dann muss \( \lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \infty \) sein.
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Danke. Mir ist jedoch immer noch nicht vollständig klar, aus welchem Grund genau man nicht mit \(e^2\) weiterrechnen kann.   ─   jan142 13.02.2021 um 23:25

Kann man schon. Aber nach 2 abzuschätzen ist doch viel angenehmer. Du musst ja nur eine Folge finden, die du nach unten abschätzt, die divergiert.   ─   cauchy 13.02.2021 um 23:28

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Wenn möglich kann man für den Limes entsprechende Rechenregeln anwenden, aber vom Prinzip her muss man den Limes immer als Ganzes betrachten. Man kann Grenzwerte also nicht "Stück für Stück" ausrechnen.
Beispielsweise kann man bei \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \) nicht erst \( \lim_{n \to \infty } 1+ \frac{1}{n} = 1 \) ausrechnen und damit \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1 \) folgern, denn bekanntlich ist ja \( \lim_{n \to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e \).
  ─   anonym 13.02.2021 um 23:39

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Die Folge divergiert. Man kann das Minorantenkriterium anwenden!
es gilt \((1+2/(n+1))^{n^2+n} > ((1+1/(n+1)^{n+1})^n \). Der Ausdruck in den äußeren runden Klammern geht gegen e, und e^n divergiert natürlich.
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Der Ausdruck, der da steht ist dann aber keine Minorante, sondern eine Majorante, da \(<\). Folglich liefert diese Abschätzung keine Aussage über die Divergenz.   ─   cauchy 13.02.2021 um 22:22

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Hatte das Ungleichheitszeichen verwechselt. Ist jetzt korrigiert.   ─   professorrs 13.02.2021 um 23:41

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